Тождество Эйлера и азрпч.

[Sonic86]

druggist в сообщении #1079542 писал(а):

$\rho(x)\sim1/\ln(x)$, что и требовалось доказать

Это - ложь: $\rho(x) \sim\dfrac{e^{-\gamma}}{\ln x}$

[druggist]

Sonic86 в сообщении #1081071 писал(а):

Это - ложь: $\rho(x) \sim\dfrac{e^{-\gamma}}{\ln x}$

Опять ничего не понял, какая ложь? Более точное соотношение содержит $e^{-\gamma}$ (кстати, неплохо бы объяснить его происхождение), но причем здесь коэффициент порядка единицы? Или Вы не понимаете значение символа $\sim$ ?

[Xaositect]

druggist в сообщении #1081077 писал(а):

Опять ничего не понял, какая ложь? Более точное соотношение содержит $e^{-\gamma}$ (кстати, неплохо бы объяснить его происхождение), но причем здесь коэффициент порядка единицы? Или Вы не понимаете значение символа $\sim$ ?

Может это Вы не понимаете значение символа $\sim$? Он означает, что предел отношения двух величин равен 1. Мультипликативные константы там учитываются. Например, $x \sim x + 3$, но $x \not\sim 2x$.

[druggist]

Xaositect в сообщении #1081094 писал(а):

Например, $x \sim x + 3$, но $x \not\sim 2x$

Дайте точную ссылку на Ваше утверждение "Он означает, что предел отношения двух величин равен 1". $x \sim y$ - это значит, совпадает по порядку величины, что 1, что 2 - порядок у этих чисел один - он определяется порядком числа $x$

[Someone]

druggist в сообщении #1081125 писал(а):

Дайте точную ссылку на Ваше утверждение "Он означает, что предел отношения двух величин равен 1".

Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том I. Москва, "Высшая школа", 1981.

8.2. Сравнение функций.

[druggist]

Someone в сообщении #1081149 писал(а):

8.2. Сравнение функций.

Приведите конкретную цитату. В википедии все абсолютно четко:

Цитата:

при анализе асимптотического поведения функций... https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B4%D0%B0

Я бы еще мог понять аргументы типа "в физике так, в математике - так", но ничего подобного (см. про "слабую эквивалентность")

[Someone]

Что, мне параграф из учебника переписывать? Больше 6 страниц с множеством формул. А на Википедию забейте, там пишет кто хочет и что хочет. Возьмите учебник и посмотрите. Определение 8.3, а обозначение вводится в формуле (8.22).

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1081155 писал(а):

В википедии все абсолютно четко:

Сильный аргумент! Особенно если учесть, что водку википедию ключница делала...

[druggist]

Дело не в вики. Спор о определениях это, как известно, спор идиотов. В данном случае тильда означает равенство по порядку величины

[Someone]

druggist в сообщении #1081165 писал(а):

Спор о определениях это, как известно, спор идиотов.

Видите ли, возможно, кто-то где-то когда-то употребил данный значок в том смысле, которого Вам хочется. Однако я за 48 лет (учёба в университете и последующая работа) ни разу не встречал такого употребления. Очень похоже, что остальные участники обсуждения тоже такого не встречали. Поэтому, употребляя этот значок в столь необычном смысле, Вы должны будете каждый раз объяснять, в каком именно смысле Вы его употребляете, причём, до того, как Вы начнёте его использовать. В данном случае Вы этого не сделали и получили претензии от участников обсуждения.

Аналогичная ситуация возникает и в тех случаях, когда распространённый термин или обозначение имеют несколько различных значений.

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1081125 писал(а):

$x \sim y$ - это значит, совпадает по порядку величины, что 1, что 2 - порядок у этих чисел один - он определяется порядком числа $x$

druggist в сообщении #1081165 писал(а):

В данном случае тильда означает равенство по порядку величины

Здесь вы сильно ошибаетесь. Для одинаковых по порядку величин традиционно используются другие обозначения, см., например, здесь.

druggist в сообщении #1081165 писал(а):

Спор о определениях это, как известно, спор идиотов.

Здесь речь идет не об определениях, а о традиционных обозначениях.

[Sonic86]

druggist в сообщении #1081165 писал(а):

Дело не в вики. Спор о определениях это, как известно, спор идиотов. В данном случае тильда означает равенство по порядку величины

А теперь давайте подумаем нормально.
Асимптотическую эквивалентность будем обозначать $\sim$. Это - строгое отношение на множестве функций, определяемое как $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.
А Ваше равенство по порядку величины будем обозначать $\approx$. Причем, что конкретно это значит - это еще предстоит выяснить, то ли $f(x)\approx g(x)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln |f(x)|}{\ln |g(x)|}=1$, то ли еще чего-то. Это раз.
В любом случае, если $f(x)\sim g(x)$, то $f(x)\approx g(x)$, обратное неверно. Т.е. утверждение об асимптотической эквивалентности сильнее.
Так вот: асимптотический закон распределения простых чисел, это утверждение $\pi(x)\sim\dfrac{x}{\ln x}$, т.е. сильное утверждение. Можете взять и проверить его вручную для $x=10^6$ или $10^7$ например.
А если Вас интересуют более слабые факты, то они могут доказываться более простыми средствами и потому менее пафосны. Например, еще Чебышев доказал через асимпотический анализ среднего биномиального коэффициента, что существуют константы $C_1,C_2$ такие, что $C_1\dfrac{x}{\ln x}<\pi(x)<C_1\dfrac{x}{\ln x}$. Константы найдены конструктивно и близки к единице. Это два.
Теперь обратите внимание, что пусть даже мы и не знаем, что такое это Ваше конкретно равенство величин порядку, но в смысле $\approx$ выше уже из утверждений Чебышева элементарно вытекает, что $\pi(x) \approx \dfrac{x}{\ln x}$. Даже если уточнить Ваше равенство по порядку как $f(x)\approx g(x)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=C: 0<C<\infty$, то это как раз и есть утверждение Чебышева, а не АЗРПЧ.
Далее, $\operatorname{Li}(x)=\dfrac{x}{\ln x}\left(1+\dfrac{1!}{\ln x}+\dfrac{2!}{\ln^2 x}+\dfrac{3!}{\ln^3 x}+...\right)$. 1-й член здесь дает АЗРПЧ. Приближение Гаусса (хотя его еще и Чебышев знал) - существенно сильнее АЗРПЧ. Использование $\operatorname{Li}(x)$ мягко говоря, вообще неочевидно. Я вот до сих пор не врубаюсь, откуда оно лезет.
Т.е. Ваша оценка порядка роста $\pi(x)$ через решето - это какая-то дохлая лажа.

И никакого спора об определениях здесь нет - не морочьте людям головы.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1081180 писал(а):

Видите ли, возможно, кто-то где-то когда-то употребил данный значок в том смысле, которого Вам хочется. Однако я за 48 лет (учёба в университете и последующая работа) ни разу не встречал такого употребления. Очень похоже, что остальные участники обсуждения тоже такого не встречали. Поэтому, употребляя этот значок в столь необычном смысле, Вы должны будете каждый раз объяснять, в каком именно смысле Вы его употребляете, причём, до того, как Вы начнёте его использовать. В данном случае Вы этого не сделали и получили претензии от участников обсуждения.

ЕМНИП, физики пишут иногда такие вещи, типа $m\sim 10^8\10^9$. Видимо, оттуда это растет.

druggist в сообщении #1081125 писал(а):

Дайте точную ссылку на Ваше утверждение "Он означает, что предел отношения двух величин равен 1". $x \sim y$ - это значит, совпадает по порядку величины, что 1, что 2 - порядок у этих чисел один - он определяется порядком числа $x$

Еще хочу сказать, что термин "порядок роста числа $x$" бессмысленный. Бывает порядок роста функции. И то я бы еще уточнил, о чем идет речь.

[grizzly]

Brukvalub в сообщении #1081183 писал(а):

Здесь вы сильно ошибаетесь. Для одинаковых по порядку величин традиционно используются другие обозначения

Использование тильды в отношении "по порядку величины" распространено у физиков и астрономов (так ведь это ещё должна быть понятна шкала порядков).
О таком использовании упоминают в более серьёзных источниках (MathWorld, например, -- там не настолько всё плохо). (А в Вики той глупости уже нет.)

[druggist]

Sonic86" в сообщении #1081242 писал(а):

Я вот до сих пор не врубаюсь, откуда оно лезет.
Т.е. Ваша оценка порядка роста $\pi(x)$ через решето - это какая-то дохлая лажа.

Если как Вы говорите, "не врубаетесь", зачем вообще даете пояснения и делаете какие-то странные замечания в вопросе, касающемся предмета Вашего "неврубания"? При выводе у В. Босса после определения плотности $\rho(x)$ через произведение(см. стартовый пост - интерпретация этого соотношения и составляет мой основной вопрос) для плотности составляется дифференциальное уравнение, из которого и получается $\rho(x)=\frac{1}{\ln(x)}$ (у Куранта примерно так же). Кстати, если применить рассуждения, используемые при выводе не к промежутку $\Delta x$. a к самому $x$, то есть, взять среднее число простых чисел на "ед. длины $x$", то вместо $\rho(x)$ надо брать $\pi(x)/x$, откуда и получается болee грубая оценка $\pi(x)=x/\ln(x)$.
Второй вопрос, можно ли не составлять ду для $\rho(x)$, а "увидеть" ответ непосредственно из тождества Эйлера? Вы приводите якобы вытекающее из тождества соотношение $\rho(x) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln(x)}$, скорее всего основываясь на известном равенстве:

$$e^{-\gamma}=\lim\limits_{x\to\infty}^{} \ln(x) \prod\limits_{p\leqslant x}^{}(1-\frac{1}{p})$$

Но можно ли заменить произведение под знаком предела на $\rho(x)$ ? Это вовсе не очевидно и скорее всего неверно.

Цитата:

И никакого спора об определениях здесь нет - не морочьте людям головы

Насчет тильды, да, слегка поморочил

p.s. Исключительно дабы попрактиковаться в тегах, добавлю свой "вывод":

Для очень большого $x$ на основании тождества Эйлера при $s=1$ можем положить:

$$\frac{1}{\rho(x)}\approx\int\limits_{1}^{x}\frac{dt}{t}, $$

откуда и получаем искомую плотность.

[Sonic86]

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1081271 писал(а):

Если как Вы говорите, "не врубаетесь", зачем вообще даете пояснения

Это называется демагогия. Ошибку в рассуждении сами найдете или показать

druggist в сообщении #1081271 писал(а):

При выводе у В. Босса после определения плотности $\rho(x)$ через произведение(см. стартовый пост - интерпретация этого соотношения и составляет мой основной вопрос) для плотности составляется дифференциальное уравнение, из которого и получается $\rho(x)=\frac{1}{\ln(x)}$

При этом выводе используются ложные утверждения типа $\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)$, потому ни о каком ДУ речи быть не может.

druggist в сообщении #1081271 писал(а):

Кстати, если применить рассуждения, используемые при выводе не к промежутку $\Delta x$. a к самому $x$, то есть, взять среднее число простых чисел на "ед. длины $x$", то вместо $\rho(x)$ надо брать $\pi(x)/x$, откуда и получается болee грубая оценка $\pi(x)=x/\ln(x)$.

Нет, это наивные мечты, не получается: лезут либо $e^{-\gamma}$, либо неоцениваемые хвосты.

druggist в сообщении #1081271 писал(а):

Вы приводите якобы вытекающее из тождества соотношение $\rho(x) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln(x)}$, скорее всего основываясь на известном равенстве:

$$e^{-\gamma}=\lim\limits_{x\to\infty}^{} \ln(x) \prod\limits_{p\leqslant x}^{}(1-\frac{1}{p})$$

Но можно ли заменить произведение под знаком предела на $\rho(x)$ ?

druggist в сообщении #1079431 писал(а):

$$\rho (x)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p),$$

Вы таки определитесь: у Вас $\rho(x)=\prod\limits_{p\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p}\right)$ или нет?

druggist в сообщении #1081271 писал(а):

Для очень большого $x$ на основании тождества Эйлера при $s=1$ можем положить:

$$\frac{1}{\rho(x)}\approx\int\limits_{1}^{x}\frac{dt}{t},$$

откуда и получаем искомую плотность.

Тупо вранье: для $s=1$ хоть для какого $x$ (которого в этой формуле вообще нет) получается соотношение $\infty=\infty$.