Интересная олимпиада по ТВ

[Dmitry Tkachenko]

1. Случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_n$ независимы и имеют показательныое распределение с параметром $\lambda.$ Докажите, что величина $\max (\xi_1, \dots, \xi_n)$ и $\sum\limits_{k=1}^n \frac{\xi_k}{k}$ одинаково распределены.

2. В корзине находится $n$ верёвок. Петя наугад выбирает два свободных конца (возможно, одной веревки) и завязывает их. Он повторяет эту процедуру, пока не закончатся свободные концы (то есть $n$ раз). Какое математичекое ожидание количества полученных веревочных колец?

3. Велечины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимые и имеют стандартное нормальное распределение. Найти условную вероятность $P(\xi_1+\xi_2>0 | \xi_1>0).$

4. Для произвольной случайной велечины $\xi$ докажите, что если функции $f,g$ неубываеющие, то случайные велечины $f(\xi), g(\xi)$ неотрицательно кореллироаны, то есть $E [f(\xi)g(\xi)]\geqslant E [f(\xi)] E [g(\xi)].$
(Считайте конечными все математические ожидания в условии.)

5. Количество насекомых в супе является случайной величиной, которая принимает неотрицательные целые значения, но не равна нуля почти наверняка. Каждое насекомое является либо мухой, либо тараканом с вероятностью $1/2$ независимо от остальных насекомых и от их количества. Возможно ли, что количество мух и тараканов --- независимые случайные велечины?

6. Бешеный Макс случайно выбирает числа из отрезка $[0,1],$ пока их сумма не превысит $1.$ Докажите, что математическое ожидание количества выбранных чисел равняется $e.$

7. Мост, который соединяет правый берег реки с левым, состоит из 13 секций, как на рисунке: кружками обозначены железобетонные опоры. Вода разрушает секции моста независимо друг от друга с вероятностью $1/2.$ Какова вероятность того, что после разрушений можно перейти с одного берега реки на другой?



8. В одной из вершин правильного $n$-угольника распологается фишка. На каждом шаге фишку перемещают в одну из соседних вершин с одинаковыми вероятностями. Докажите, что математическое ожидание количества шагов, за которые фишка обойдет все вершины $n$-угольника, равняется $n(n-1)/2.$

[provincialka]

В задаче 2 используется метод индикаторов? Или еще что-то такое... СведЕние к сумме величин?

-- 09.12.2015, 21:14 --

В задаче 2 ответ $\frac{n}{2n-1}$? Я даже проверила его численным экспериментом.

[provincialka]

Я рассуждала так. Для каждого конца веревки введем случайную величину $\xi_k, k=1,..., 2n$, которая равна 1, если веревка "зациклилась" и 0 в противном случае. Вероятность первого события равна $\frac{1}{2n-1}$, так что $E\xi_k=1\cdot\frac1{2n-1}+0\cdot\frac{2n-2}{2n-1}=\frac1{2n-1}$. Тогда искомое число есть $\frac12\sum\xi_k$, и хотя величины $\xi_k$ зависимы, среднее суммы равно сумме средних.

[grizzly]

provincialka в сообщении #1080971 писал(а):

В задаче 2 используется метод индикаторов?

А если по рабоче-крестьянски?
п.1) При $n=1$ одно кольцо.
п.2) При $n=2$ берём в руки любой конец и выбирая другой с вероятностью 1/3 получим п.1 плюс ещё одно кольцо, а с вероятностью 2/3 просто п.1. Итого: 4/3.
п.3) При $n=3$ берём в руки любой конец и выбирая другой с вероятностью 1/5 получим п.2 плюс ещё одно кольцо, а с вероятностью 4/5 просто п.2. Итого: $(1+4/3)/5+16/15=23/15$.
Если я вообще считаю то, что спрашивается, то остаётся замкнуть рекуррентное отношение формулой. Получится что-то вроде:

$$ \sum\limits_{k=1}^n \frac1{(2k-1)} $$

-- 09.12.2015, 22:19 --

upd (тогда зачеркну). Ой, разошлось с численным экспериментомprovincialka.Значит, наивно-бытовое понимание меня подвело.

[mihiv]

3.$ P=\frac 34$.

[provincialka]

grizzly
Нет! Это моя вина Я почему-то решила, что надо считать веревки, связанные в кольцо... а не вообще кольца, возможно, из многих веревок!

[Dmitry Tkachenko]

mihiv в сообщении #1080987 писал(а):

3.$ P=\frac 34$.

Да, задача простая.

Задача 2 не переводится на язык подстановки, поскольку у них разные вероятности!

-- 09.12.2015, 21:30 --

grizzly, у Вас вроде правильно.

[juna]

№6.
Пусть $x_n\in[0;1]$ - число, которое выпало на n-м шаге, причем

$$\sum_{i=1}^n{x_i}>1 \wedge \sum_{i=1}^{n-1}{x_i}<1. (1)$$

Обозначим вероятность этой коньюнкции

$$P(\sum_{i=1}^n{x_i}>1 \wedge \sum_{i=1}^{n-1}{x_i}<1)$$

через $P_n$.

Пусть $Y$ - дискретная случайная величина, принимающая значение $n$, если верно (1), тогда

$$M(Y)=\sum_{n=2}^{\infty}P_n\cdot n$$

(при $P_1=0$)

Для начала найдем вероятность $P(\sum_{i=1}^n{x_i}>1)$. Рассмотрим частные случаи:
$n=2,x_2>1-x_1$ - это треугольник, отсекаемый диагональю в квадрате 1x1, значит $P(x1+x2>1)=\frac{1}{2}$, а поскольку $P(x_1>1)=0$, то $P_2=\frac{1}{2}$.

$n=3, x_3>1-x_1-x_2$ - это объем того, что останется от куба, если у него срезать треугольную пирамиду, образованную диагоналями граней, смежных с одной из вершин куба. Площадь основания такой пирамиды совпадает с тем, что мы определили при $n=2$, высота равна 1, т.е. объем пирамиды равен $\frac{1}{3\cdot 2}$. Значит $P(x_1+x_2+x_3>1)=1-\frac{1}{3}\cdot P_2=\frac{5}{6}$, однако сюда примешалась призма с площадью основания $P_2=\frac{1}{2}$ и высотой 1, которая собственно обеспечивает выполнение неравенства раньше уже при $x_1+x_2>1$, поэтому $P_3=\frac{5}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$

Распространяя это рассуждение на многомерный случай и считая каждый раз объем пирамиды в многомерном пространстве. как

$$V_n=\frac{1}{n}\cdot V_{n-1}\cdot 1,$$

получаем:

$$P(\sum_{i=1}^n{x_i}>1)=1-V_n$$

$$P_n=1-\frac{1}{n}\cdot V_{n-1}-(1-\frac{1}{n-1}\cdot V_{n-2})=\frac{1}{n-1}\cdot V_{n-2}-\frac{1}{n}\cdot V_{n-1}$$

$$V_n=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{(n-1)!}=\frac{1}{n!}$$

$$P_n=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=\frac{n!-(n-1)!}{n!(n-1)!}=\frac{n-1}{n!}$$

$$M(Y)=\sum_{n=2}^{\infty}P_n\cdot n=\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{n-1}{n!}\cdot n}=\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{(n-2)!}$$

Последнее - известное разложение числа $e$.

(Оффтоп)

Почему Макс - бешеный? Скорее ленивый, раз в среднем совершает от 2 до 3 телодвижений.

[provincialka]

Вроде эта задача уже была на форуме... Но найти не могу...

[--mS--]

Да к чему её искать:

$$\mathsf EY = \sum_{n=0}^\infty \mathsf P(Y > n) = \sum_{n=0}^\infty \mathsf P(S_n < 1) =\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}=e.$$

Область $\{S_n < 1\}$ - пирамида в $[0,\,1]^n$, объём которой аккурат $1/n!$.

[juna]

--mS--

Да. Так много короче. Кто бы еще знал об этих хвостах для матожидания целочисленных величин Хотя, когда решал, было ощущение двойственности происходящего с этими пирамидами.

[RIP]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1081210 писал(а):

Вроде эта задача уже была на форуме... Но найти не могу...

http://dxdy.ru/topic10487.html

[--mS--]

juna в сообщении #1081260 писал(а):

Кто бы еще знал об этих хвостах для матожидания целочисленных величин

А это полезная формулка, её всегда вспоминают, когда речь идёт о матожидании какого-нибудь $Y=\min\{n: \text{что-то такое случилось в момент }n\}$. Потому как событие $\{Y>n\}$ оказывается проще, чем $\{Y=n\}$.

(Оффтоп)

Странно, что Юстас пошёл иным путём, хотя бегали мы по одним и тем же коридорам

[ProPupil]

№ 3.

Я полагаю $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$

$$P\{\xi_1+\xi_2 > 0|\xi_1 > 0\}=\frac{P\{\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0\}}{P\{\xi_1 > 0\}}=2P\{\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0\}$$

Поскольку $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы, то их совместное распределение задаётся плотностью $p(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$

Таким образом

$$P\{\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0\} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^\infty \,dx_1 \int\limits_{-x_1}^\infty e^{-\frac{x_1^2+x_2^2}{2}}\,dx_2=\int\limits_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x_1^2}{2}}\,dx_1 \int\limits_{-x_1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_2^2}{2}}\,dx_2$$

$$\int\limits_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x_1^2}{2}}\,dx_1 \int\limits_{-x_1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_2^2}{2}}\,dx_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\infty e^{-\frac{x_1^2}{2}} [1 - \Phi(-x_1)] \, dx_1=\int\limits_0^\infty \left (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_1^2}{2}}\right)\Phi(x_1) \, dx_1$$

Теперь мы пользуемся тем, что $(u^2)'=2uu'$. В нашем случае $u = \Phi$

Т. о.

$$\int\limits_0^\infty \left (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_1^2}{2}}\right)\Phi(x_1) \, dx_1 = \frac{\Phi^2(\infty)-\Phi^2(0)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$$

Подставляем это в нашу формулу и получаем ответ: $ 2 \times \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

[--mS--]

Или так:

$$\dfrac12=\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0) = \mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 > 0)+\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 < 0) + $$ $$+\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 < 0, \xi_2 > 0) = $$

$$=\mathsf P(\xi_1 > 0, \xi_2 > 0)+2\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 < 0) = \dfrac14+2\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 < 0).$$

Отсюда $\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 < 0)=\dfrac18$,

$$\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 >0) = \mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 > 0)+\mathsf P(\xi_1+\xi_2 > 0, \xi_1 > 0, \xi_2 < 0) = \dfrac14+\dfrac18=\dfrac38.$$