1. Случайные величины

независимы и имеют показательныое распределение с параметром

Докажите, что величина

и

одинаково распределены.
2. В корзине находится

верёвок. Петя наугад выбирает два свободных конца (возможно, одной веревки) и завязывает их. Он повторяет эту процедуру, пока не закончатся свободные концы (то есть

раз). Какое математичекое ожидание количества полученных веревочных колец?
3. Велечины

и

независимые и имеют стандартное нормальное распределение. Найти условную вероятность
4. Для произвольной случайной велечины

докажите, что если функции

неубываеющие, то случайные велечины

неотрицательно кореллироаны, то есть
![$E [f(\xi)g(\xi)]\geqslant E [f(\xi)] E [g(\xi)].$ $E [f(\xi)g(\xi)]\geqslant E [f(\xi)] E [g(\xi)].$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/1/351c7305b7daae0ba238a828b5629f6382.png)
(Считайте конечными все математические ожидания в условии.)
5. Количество насекомых в супе является случайной величиной, которая принимает неотрицательные целые значения, но не равна нуля почти наверняка. Каждое насекомое является либо мухой, либо тараканом с вероятностью

независимо от остальных насекомых и от их количества. Возможно ли, что количество мух и тараканов --- независимые случайные велечины?
6. Бешеный Макс случайно выбирает числа из отрезка
![$[0,1],$ $[0,1],$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/e/0ae2faac7f0b6f04f2d00a80b1a93c9582.png)
пока их сумма не превысит

Докажите, что математическое ожидание количества выбранных чисел равняется

7. Мост, который соединяет правый берег реки с левым, состоит из 13 секций, как на рисунке: кружками обозначены железобетонные опоры. Вода разрушает секции моста независимо друг от друга с вероятностью

Какова вероятность того, что после разрушений можно перейти с одного берега реки на другой?

8. В одной из вершин правильного

-угольника распологается фишка. На каждом шаге фишку перемещают в одну из соседних вершин с одинаковыми вероятностями. Докажите, что математическое ожидание количества шагов, за которые фишка обойдет все вершины

-угольника, равняется
