Дело не в вики. Спор о определениях это, как известно, спор идиотов. В данном случае тильда означает равенство по порядку величины
А теперь давайте подумаем нормально.
Асимптотическую эквивалентность будем обозначать

. Это - строгое отношение на множестве функций, определяемое как

.
А Ваше равенство по порядку величины будем обозначать

. Причем, что конкретно это значит - это еще предстоит выяснить, то ли

, то ли еще чего-то. Это раз.
В любом случае, если

, то

, обратное неверно. Т.е. утверждение об асимптотической эквивалентности сильнее.
Так вот: асимптотический закон распределения простых чисел, это утверждение

, т.е. сильное утверждение. Можете взять и проверить его вручную для

или

например.
А если Вас интересуют более слабые факты, то они могут доказываться более простыми средствами и потому менее пафосны. Например, еще Чебышев доказал через асимпотический анализ среднего биномиального коэффициента, что существуют константы

такие, что

. Константы найдены конструктивно и близки к единице. Это два.
Теперь обратите внимание, что пусть даже мы и не знаем, что такое это Ваше конкретно равенство величин порядку, но в смысле

выше уже из утверждений Чебышева элементарно вытекает, что

. Даже если уточнить Ваше равенство по порядку как

, то это как раз и есть утверждение Чебышева, а не АЗРПЧ.
Далее,

. 1-й член здесь дает АЗРПЧ. Приближение Гаусса (хотя его еще и Чебышев знал) - существенно сильнее АЗРПЧ. Использование

мягко говоря, вообще неочевидно. Я вот до сих пор не врубаюсь, откуда оно лезет.
Т.е. Ваша оценка порядка роста

через решето - это какая-то дохлая лажа.
И никакого спора об определениях здесь нет - не морочьте людям головы.
(Оффтоп)
Видите ли, возможно, кто-то где-то когда-то употребил данный значок в том смысле, которого Вам хочется. Однако я за 48 лет (учёба в университете и последующая работа) ни разу не встречал такого употребления. Очень похоже, что остальные участники обсуждения тоже такого не встречали. Поэтому, употребляя этот значок в столь необычном смысле, Вы должны будете каждый раз объяснять, в каком именно смысле Вы его употребляете, причём, до того, как Вы начнёте его использовать. В данном случае Вы этого не сделали и получили претензии от участников обсуждения.
ЕМНИП, физики пишут иногда такие вещи, типа

. Видимо, оттуда это растет.
Дайте точную ссылку на Ваше утверждение "Он означает, что предел отношения двух величин равен 1".

- это значит, совпадает по порядку величины, что 1, что 2 - порядок у этих чисел один - он определяется порядком числа

Еще хочу сказать, что термин "порядок роста числа

" бессмысленный. Бывает порядок роста функции. И то я бы еще уточнил, о чем идет речь.