Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1080795 писал(а):

мне немного лень разъяснять

commator в сообщении #1080831 писал(а):

никому до Вас не было надо брать зачем-то <...> $\varphi$-сексты и совать в систему настройки

Таки кому-то было надо, похоже:



Не состоялся Ваш приоритет на цепь $\varphi$-секст в области музыкальных строёв, а я, было, порадовался за Вас.

[AliceLovelace]

arseniiv в сообщении #1080805 писал(а):

AliceLovelace в сообщении #1080803 писал(а):

А что про психоакустику? Если речь о зависимости строя от инструмента, то как раз такой строй должен быть относительно нейтрален, т.к. не ведется на сторонние резонансные частоты (инструмента).

Да у вас-то ещё куда ни шло. Закон Вебера—Фехнера для зависимости высоты синусоидального звука от его частоты объявляется, насколько я здесь видел, применимым для всех дающих ощущение звука частот, что опровергается опытом. Или насчёт добавления обертонов было бы интересно почитать. Интересные, но не подтверждённые или прямо опровергаемые гипотезы. И на них предлагается что-то основывать.

В вашем случае дела идут, конечно, тоже не очень: диссонансы гармоник никуда просто так спрятать нельзя, и нет такого интервала, который одинаково хорошо шёл бы с чем угодно, кроме унисона.[/off]

Логарифмический закон имеет хорошее теоретическое обоснование, ну и на опыте согласуется - разве что какие-то отдельные случаи. Интересно, какие? Думаю, или на крайностях (басы, очень высокие тона), или в аккордах. Во втором случае неисключено влияние мусорных обертонов на воспринимаемые высоты.

Строй с ф - пока не проверишь, можно только гадать. Вы говорите, разницы не будет, по моему мнению теоретически должна быть. Постараюсь как-нибудь расчехлить кубейс и потестировать.

(Оффтоп)

А у этого неадеквата пластинка заела, помешался на секстах.

[arseniiv]

AliceLovelace в сообщении #1080877 писал(а):

Логарифмический закон имеет хорошее теоретическое обоснование, ну и на опыте согласуется - разве что какие-то отдельные случаи.

См., например, по http://www.jstor.org/stable/1417526, для наглядности с. 336. Логарифмической зависимость можно (если не говорить о конкретной точности приближения, а лучше говорить, раз уж есть данные) назвать только на довольно узких интервалах частот (в статье график в логарифмическом масштабе, где логарифмической зависимости соответствует прямая линия).

AliceLovelace в сообщении #1080877 писал(а):

Строй с ф - пока не проверишь, можно только гадать. Вы говорите, разницы не будет, по моему мнению теоретически должна быть.

Я говорил, что таким способом можно сколь угодно приблизить любую шкалу, а не то, что «разницы не будет»: можно ничего известного не приближать. А наиболее консонансные интервалы для тембра с целочисленными гармониками уже все открыты, увы.

commator в сообщении #1080813 писал(а):

как и все прочие дисциплины, между которыми здесь надо искать гармонию.

Это в общем случае неверно. Иногда не все взгляды одинаково хороши, в том числе и взгляды на то, как получается диссонанс и как он связан с ощущениями от разных настроек.

[AliceLovelace]

arseniiv в сообщении #1080912 писал(а):

можно ничего известного не приближать. А наиболее консонансные интервалы для тембра с целочисленными гармониками уже все открыты, увы.

В смысле $3/2$ и т.д? Так они не укладываются в строй, так чтоб любая конфигурация звучала. Чтобы поправить, нужно отклонить, и вопрос - где и насколько. По какому принципу отклонять? То есть, это вопрос не приближения, а отклонения.

Кроме того консонансные интервалы не гарантируют консонансных аккордов. А разные приближения интервалов дают разную форму звука. В итоге, разные приближения натурального строя дают разное звучание всего в целом. Чем больше звуков одновременно в созвучии, тем вопрос внутренней целостности (в т.ч. на уровне обертонов) встает острее.

Кроме того чистые аккорды не обязательно самые "консонансные" в смысле приятного восприятия. Например идеальная чистая квинта для меня звучит слишком широко, чуть уменьшенная (буквально на доли) уже лучше.
Возможно еще, это дело привычки.

PS. не могу прочитать "с. 336", нет доступа.

[Свободный Художник]

Можно поискать модели для симметрии, о которой пишет Риман:

Свободный Художник в сообщении #1079558 писал(а):

... параллельно (поскольку Вы ранее указывали на необходимость учета временнЫх отношений), хотел бы обратить Ваше внимание на очень понравившееся мне место из Римана по указанному вопросу:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/15/2/1.html

Свободный Художник в сообщении #1079723 писал(а):

commator в сообщении #1079614 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1079558 писал(а):

(поскольку Вы ранее указывали на необходимость учета временнЫх отношений), хотел бы обратить Ваше внимание на очень понравившееся мне место из Римана по указанному вопросу: http://www.px-pict.com/7/3/2/3/15/2/1.html

Вам понравилось про время тяжёлое и лёгкое?

Понравилось рассуждениями о симметрии в музыке и интуитивно ощущаемой возможностью связать это с тем, что Дэвид Райт пишет по поводу "горизонтальной структуры". Я пытался начать такую тему здесь:
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=100886

-- Сб дек 05, 2015 15:02:51 --

А также понравилось аналогиями между музыкой и архитектурой, которые меня тоже давно интересуют в связи с работами Палладио:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 156&page=4
(постинг 40 на указанной странице)

а также модели иных "музыкальных" симметрий в книге Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве, оглавление которой можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/8/1.html

-- Ср дек 09, 2015 23:04:21 --

Кстати говоря, если симметрию естественно связывать с группами, то, вот, как раз-то группоиды Брандта, о которых я писал раньше:

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

Если Вы пытаетесь построить некую "алгебру музыкальной гармонии", то было бы логично, если бы Вы использовали в ней какие-нибудь понятия и конструкции из этой самой алгебры. Например, группоид Брандта, о котором я писал, есть, как раз-то, вполне определенная алгебраическая система.

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

Непонятно даже, каким образом определить в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" операцию группоида Брандта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/4.html

Нам будет вполне достаточно информации об этой системе, приведенной у Клифорда и Престона:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1.html
Причем это такая алгебраическая система, которая относится именно к делу (построения некоей "алгебры музыкальной гармонии").

-- Чт июн 25, 2015 23:47:35 --

К делу она относится потому, что при помощи стандартных алгебраических конструкций, кратко обрисованных, например, у А. Г. Куроша:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/1/3.html
мы можем определить абелеву группу, изоморфную абелевой группе всех рациональных чисел относительно операции умножения, как фактор-полугруппу полугруппы Брандта по очевидной конгруэнции.
И далее определить интересующие Вас ЧИПы разнообразных пределов как подгруппы этой группы.
Тогда появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

и могут рассматриваться как "зародыши" групп.

[Свободный Художник]

Поэтому, наверное, все-таки существовала ("по факту") 2500 лет назад бесконечная абелева группа на основе соответствующего группоида Брандта, как это описано здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html
и по поводу чего мы дискутировали ранее:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 34&page=10

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1080993 писал(а):

Поэтому, наверное, все-таки существовала ("по факту") 2500 лет назад бесконечная абелева группа на основе соответствующего группоида Брандта, как это описано здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html
и по поводу чего мы дискутировали ранее:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 34&page=10

Почему бы упомянутой группе и не существовать 2500 лет назад? Не могу утверждать обратного.

Тогда же мне почему-то потребовалось отметить следующее:

commator в Сети писал(а):

1. Нотная запись музыки это не более и не менее, чем с той или иной степенью подробности составленная программа для изготовления последовательности звуков, воспринимаемых ощущениями, как музыка.
2. Поскольку современная нотная запись сложилась в рамках диктатуры пифагоровой системы, и по своей сути такой и осталась, то пифагорову систему следует в нотации и продолжать эксплуатировать.
3. Современное восприятие тональной музыки не может существовать полноценно в рамках изготовления по пифагоровым нотам последовательностей звуков одной лишь пифагоровой системы.
4. Для отображения в партитурах всех иных систем с достаточной для уверенного восприятия точностью, современная пифагорова нотная запись располагает всеми необходимыми естественно добавляемыми и понимаемыми ресурсами.

Теперь думаю: и сегодня так бы написал.

[arseniiv]

AliceLovelace в сообщении #1080964 писал(а):

Так они не укладываются в строй, так чтоб любая конфигурация звучала.

Любая конфигурация чего, частот в спектре инструмента? Так и нет такого интервала, чтобы одинаково хорошо подходил к чему угодно, кроме унисона (1). Ну правда же.

AliceLovelace в сообщении #1080964 писал(а):

Кроме того консонансные интервалы не гарантируют консонансных аккордов.

Чем больше диссонанса в интервале, тем больше будет диссонанс в аккорде, гипотетически отличающемся только одним этим интервалом. Если принять приближение, что прибавка диссонанса от добавления в спектр частот $(f_1,\ldots,f_n)$ с амплитудами $(a_1,\ldots,a_n)$ синусоиды частоты $f$ с амплитудой $a$ равна $\sum_{i=1}^n g(a, a_i) d(f, f_i)$, где $d(f, f')$ — диссонанс от двух синусоид единичной амплитуды частот $f, f'$, $g(x, y) = g(y, x)$, $g(x, 0) = 0$, $g$ с фиксированным любым аргументом возрастает как функция оставшегося, это получается автоматически. Предположения же, по идее, довольно естественные (даже не важен конкретный вид $g$). А, ну ещё нужно допустить работающее для не слишком $d(f, f') > d(f, f'') \Rightarrow d(kf, kf') > d(kf, kf'')$, что работает вне 5…10 центов для всех интервалов и в остальных случаях тоже часто (это вычисляется, исходя из кривых диссонанса в зависимости от измеренного в critical bandwidth интервала и последней в зависимости от частоты).

AliceLovelace в сообщении #1080964 писал(а):

PS. не могу прочитать "с. 336", нет доступа.

Регистрация там свободна, после этого можно почитать.

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1080877 писал(а):

(Оффтоп)

А у этого неадеквата пластинка заела, помешался на секстах.

(Оффтоп)

[AliceLovelace]

arseniiv в сообщении #1081019 писал(а):

Если принять приближение, что прибавка диссонанса от добавления в спектр частот $(f_1,\ldots,f_n)$ с амплитудами $(a_1,\ldots,a_n)$ синусоиды частоты $f$ с амплитудой $a$ равна $\sum_{i=1}^n g(a, a_i) d(f, f_i)$, где $d(f, f')$ — диссонанс от двух синусоид единичной амплитуды частот $f, f'$, $g(x, y) = g(y, x)$, $g(x, 0) = 0$, $g$ с фиксированным любым аргументом возрастает как функция оставшегося, это получается автоматически. Предположения же, по идее, довольно естественные (даже не важен конкретный вид $g$).

А теперь еще возьмите в учет, что $\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}$.
В итоге $\varphi^n = k\varphi + m$, а точнее
$\varphi^n = F(n-1)\varphi + F(n-2)$, где F(n) - элемент ряда фибоначчи.

Для не слишком малых $n$ получаем $\varphi^n \approx F(n-2)(\varphi^{2} + 1) \approx F(n-2) \cdot 3.618$, иначе говоря все немалые степени - гармоники одной частоты. Любые две ноты в рамках октавы имеют родство, а для нескольких нот - не считая классических интервальных соотношений, это родство общее и единое (а не всё больше и больше "понаехавших").
Остается показать, что сумма, разница таких степеней, обратный элемент $\varphi^{-n} тоже принадлежат этой "группе" (фи-фибоначчи) либо сочетаются с нею. Новые непонятные частоты таким образом не плодятся в таких количествах.
Что в эффекте ожидается? Мягкий матовый звук при созвучиях, со сглаженными нечистотами. Один раз, еще со старым неточным строем, наблюдала живое биение - т.е. медленное биение из-за кривой настройки, которое само по себе вдруг пришло в равновесие (исчезло). Интересен механизм такой саморегуляции.

Единственное "но" в том, что эти базисные частоты - в разных, далеких октавах, т.е. перекликаются далекими гармониками, даже если главные звуки в рамках октавы. Хотя это хороший резонанс, а гармоники на несколько октав сильные, любые неточности настройки будут портить совпадения по частотам. Вопрос только, насколько сильно.

[commator]

commator в сообщении #1078276 писал(а):

commator в сообщении #1078229 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1078124 писал(а):

материал по "гармоническому дуализму"

<...>

Меня привлёк такой материал:

Шевалье 1925(1932) писал(а):

минорное трезвучие является антитезой мажорного, т. е. гармонические призвуки берутся вниз, вместо того, чтобы быть взятыми вверх. Неудобство этой системы в том, что теряется понятие основного тона.

В поисках удобства надо помнить: важнейшими голосами в музыке считаются оба крайних, а не только нижний. С учётом того, что расположенная обычно вверху мелодия принимается за причину для сочинения подходящей гармонии, последняя скорее верхний голос должна поддержать, чем охранять удобства для основного тона внизу.

Ещё на этой привлекательной странице указано, что Рамо был отцом тональной функции доминанта и унарной операции обращения доминанты в субдоминанту.

Шевалье 1925(1932) писал(а):

Рамо определенно исходит из следующего: «Из призвуков основного тона можно слышать только октаву, квинту и терцию. Можно исходить только из этого. Сначала нельзя представить себе другой возможной последовательности. Однако звук, который последует за основным звуком звучащего тела, должен быть в свою очередь основным, так как отделить его от первого звука можно только посредством нового звуча¬щего тела, которое целиком отвечало бы его высоте» (Génération, стр. 40).
Но каждый из основных тонов имеет свою особую гармонию; следовательно, сколько новых основных тонов, столько же новых гармоний. Отсюда — гармоническая последовательность; она про-извольна в том смысле, что каждый из гармонических призвуков, представляющий основной тон, может быть заменен другим. Отсюда — основные последовательности (кратные или делители).

1 — 1/2 1 — 2. Октава вниз и вверх.
1 — 1/3 1 — 3. Дуодецима вниз и вверх.
1 — 1/5 1 — 5. Б. терция через две октавы вниз и вверх.

«Однако из этих последовательностей я, прежде всего, выберу квинту, которая одна дает самый совершенный порядок, как это будет видно; а так как основной звук заставляет звучать две квинты одновременно, одну наверху, другую. внизу (я дал им повсюду название доминанты и субдоминанты) <...>»

У сонантометрии, т. е. алгебры тональных функций, тогда Рамо получается первооткрывателем. Мне помогла попасть в сонантометрию именно доминанта, поскольку доминанта доминанты оказывается удвоенным ощущением увеличения соответствющего стимула, значение которого (число 3) надо возводить в квадрат.

Пока мне отцовство тоники и медианты неизвестно, но надо сказать, что ощущение тоники стимулирует число 2:

$\mathbf{:}\mathbf{T}\leftarrow 2$ (ощущение тоники соответствует стимулу 2);

у тоники уникальная способность и подчиняться закону Вебера-Фехнера:

$\mathbf{:}\mathrm{2}\mathbf{T}\leftarrow 2^2$ (удвоение ощущения тоники соответствует возведению стимула 2 в степень 2),

и одновременно уклоняться от действия основного психофизического закона:

$\mathbf{:}\mathrm{2}\mathbf{T}\leftarrow 2+2$ (удвоение ощущения тоники соответствует удвоению стимула 2).

Не с этим ли связано лишь октавное свойство давать ощущение именного подобия высот?

[commator]

AliceLovelace в сообщении #1080029 писал(а):

про ощущения к сожалению знаю мало

Ощущения высот, например, можно описывать простейшим способом в такой манере:



Сгодится только на первых порах, пока не появится нужда добавлять энгармонические альтерации, а последние далеко не всеми признаются существенно важными.

[commator]

arseniiv в сообщении #1080805 писал(а):

(Оффтоп)

Закон Вебера—Фехнера для зависимости высоты синусоидального звука от его частоты объявляется, насколько я здесь видел, применимым для всех дающих ощущение звука частот

(Оффтоп)

Был бы признателен за указание, где видели. Если так действительно сказано, то сказано и так:

commator в сообщении #1079636 писал(а):

в границах действия закона Вебера-Фехнера

Можно понять, при желании, что предмет выражения для всех дающих ощущение звука частот не обязательно целиком очерчен упомянутыми границами

.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Но тогда как можно пользоваться им для определения каких-то отношений между тонами, если он работает не для всех?

[commator]

arseniiv в сообщении #1081754 писал(а):

(Оффтоп)

Но тогда как можно пользоваться им для определения каких-то отношений между тонами, если он работает не для всех?

(Оффтоп)

commator в сообщении #1079636 писал(а):

в границах действия закона Вебера-Фехнера

даже при желании им не пользоваться, он действует. Если есть здоровые ощущения, разумеется.