Задача по Дифференциальным уравнениям в частных производных

[Dyadya_Magistr]

Вот такая вот маленькая задачка:

Нужно показать $ \sum_{i,j=1}^{n} \sum_{k,l=1}^n a^{i,j} a^{k,l} v_{x_i x_k} v_{x_j x_l} \ge {\theta}^2 |D^2 v|^2$.

Мы знаем, что существует $ \theta > 0$ для которого $ \sum_{i,j=1}^{n} a^{i,j} {\xi}_i {\xi}_j \ge \theta |\xi|^2 $ для любого $\xi \in {\mathds{R}}^n$

Я пытался решить взяв $\xi = (u_{x_i x_1}, u_{x_i x_2},...,u_{x_i x_n} )$. Решение должно быть простым, я не вижу что брать за $ \xi$.

Заранее благодарен.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Возвращено.

Dyadya_Magistr в сообщении #1080190 писал(а):

Решение должно быть простым, я не вижу что брать за $ \xi$.

Рассматривать соотв. линейный дифференциальный оператор не пробовали?

[Red_Herring]

Известно ли, что $a^{i,j}$ симметричны?

Перепишите в матричной (бескоординатной) форме.

Lia в сообщении #1080220 писал(а):

Рассматривать соотв. линейный дифференциальный оператор не пробовали?

Не выйдет т.к. отсутствует скалярное умножение в пространстве функций.

[Lia]

Red_Herring в сообщении #1080247 писал(а):

Не выйдет

Да, конечно. Это я шалю. Хотелось прекрасного. ))

[Dyadya_Magistr]

Red_Herring, да, $a^{i,j}$ симметричны.

[Red_Herring]

Молодец, тепеь скажите, что дано и что надо доказать — но в чисто матричной форме.

ПС. Цитировать надо в "болд" (не объязательно в правильных цветах, но в болд—ибо тогда цитируемый знает, что его светлое имя поминалось всуе

[Dyadya_Magistr]

Молодец?! мне как раз таки нужно все написать в матричной форме

[Red_Herring]

Dyadya_Magistr в сообщении #1080512 писал(а):

Молодец?! мне как раз таки нужно все написать в матричной форме

У Вас в задаче слово "матрица" вообще не употреблялось. Вам два наводящих вопроса:

1) Что известно про матрицу $A=(a^{ij})$?

2) Что требуется доказать про матрицы $A=(a^{ij})$ и $V=(v_{ij})$ ?