Полярная замена переменной в двойном интеграле

[ex-math]

Мне надо доказать студентам эту теорему.
Пусть у нас на плоскости $(x,y) $ дано множество $E $, а $G $ -- его образ на плоскости (на самом деле, полуполосе) $(r,\varphi) $. Я предполагаю, что $E $ компактно и имеет кусочно-гладкую границу. И я не хочу ничего предполагать про $G $. У меня проблема с доказательством измеримости $G $ по Жордану. Для этого достаточно, чтобы образ границы $E $ был кусочно-гладким. И он действительно состоит из гладких кусков, но как убедиться, что их конечное число? Вдруг можно придумать пример, в котором граница $E $ прихотливо петляет возле начала координат или луча, от которого отсчитываются углы, и в результате отобразится в счетное число гладких кусков.
Как можно несложно убедиться в измеримости $G $? Или как разумно поменять условие, чтобы это стало несложно?

[Brukvalub]

Ответ на вопрос зависит от имеющихся в распоряжении средств. Например, если уже доказано, что гладкая замена (т.е. непрерывно дифференцируемая с ненулевым якобианом ) сохраняет измеримость, то можно вырезать и затем стянуть в точку окрестность полюса.

[ex-math]

Brukvalub
Спасибо за ответ.
В общем случае я такого утверждения не доказывал. Хотел опереться на то, что кусочно-гладкая кривая перейдет в кусочно-гладкую, но встретил описанное препятствие.

[ex-math]

Кажется, удалось преодолеть это препятствие малой кровью: покрыть границу $E$ маленькими квадратиками, каждый из них вписать в область, которая будет отображаться в прямоугольник (этакий узкий сектор узкого кольца). Эти прямоугольники покроют границу $G$, площади их можно оценить, ну и окрестность полюса вырезать тоже придется.
Дальше у меня все хорошо получается, кусочно-гладкость границы $G$ не потребуется.

-- 29.11.2015, 17:51 --

Самая гадкая теорема курса, все время с ней мучаюсь.

[Munin]

А зачем она нужна? В таком странном частном виде.

[ex-math]

В полярные координаты им приходится иногда переходить. Да и совсем выкинуть замену из двойного интеграла кажется нехорошо. А на большее нет времени. Про якобиан говорю на словах, к сведению. Кто захочет -- почитает, разберется. У них по плану на самостоятельную работу часов больше, чем аудиторных.

Это не единственный пример. Поэтому же диффуры у нас не выше второго порядка.
Можно, конечно, ничего не доказывать, а только формулировать и демонстрировать применения, но я так делать не могу. Это уже будет не математика. Пусть меньше знают, зато добудут эти знания честным путем, а не в виде откровения.

[Munin]

ex-math в сообщении #1078069 писал(а):

В полярные координаты им приходится иногда переходить.

Ну а чем полярные координаты выделены перед какими-то другими? Систем координат на свете огромное количество. Если вы пытаетесь доказать что-то строго и в очень общем случае (как для слушателей мехмата), то - странно, что для очень частной системы координат. Если же вы распинаетесь перед технарями с низкими запросами, то - странно, что беспокоитесь о таких тонкостях. Можно "срезать углы", можно огрубить условия.

-- 29.11.2015 22:13:49 --

Например, где-нибудь в середине доказательства: "допустим, что у нас тут получится конечное число кусков, ну а если бесконечное - будем считать, что теорема неверна; в жизни вам такая экзотика вряд ли встретится".

[ex-math]

Munin в сообщении #1078116 писал(а):

Ну а чем полярные координаты выделены перед какими-то другими?

Это геодезисты.

"Срезать углы" можно, но при этом я испытываю очень неприятное чувство. Кроме того, я убежден, что в результате этого курса они должны не знать, как доказывается теорема, а понять, что математика -- это не формулы из справочника, а система выводящихся друг из друга фактов. "Срезание углов" в доказательстве, на мой взгляд, подрубает это понимание. Если я что-то формулирую, то должен доказать. Если я что-то упоминаю в качестве замечания, то здесь достаточно правдоподобных рассуждений, указания общей идеи. Можно было бы "срезать углы" в формулировке: сразу предположить кусочную гладкость границ обеих областей. Для практики этого достаточно. Но тогда формулировка становится немного уродливой. Поэтому я решил так не делать, ведь это потребует всего-то лишних полчаса.

[Munin]

ex-math в сообщении #1078240 писал(а):

Кроме того, я убежден, что в результате этого курса они должны не знать, как доказывается теорема, а понять, что математика -- это не формулы из справочника, а система выводящихся друг из друга фактов.

Ну, вообще говоря, прикладники могут знать, как доказывается, не знать, как доказывается, понимать, что математика, не понимать, что математика... - это всё вторично. Главное, они должны уметь применять математику. Не в том смысле, что уметь что-то доказать, а в том, чтобы уметь что-то вычислить. Вопрос только об одном: либо только стандартными приёмами, либо не совсем стандартными, либо вообще уж собственно изобретёнными. И этот вопрос уже подгоняется по контексту курса: насколько высокие требования к окончившим курс, насколько низок их уровень на начало курса, сколько времени выделено на курс, стоит ли ориентироваться на отдельных умников, или лучше научить хоть чему-то, но большинство...

ex-math в сообщении #1078240 писал(а):

Поэтому я решил так не делать, ведь это потребует всего-то лишних полчаса.

Я боюсь, не слишком ли вы "всего-то получасами" разбрасываетесь. За полчаса можно было бы рассказать, например, о нескольких геодезических проекциях, упирая на то, что это замены координат. (И их свойства сохранять площади или углы записываются так-то и так-то, а расстояния сохранить вообще целиком нельзя, потому-то.) Или, можно было бы рассказать, как вы пытались доказать обсуждаемый факт, но придумали контрпример - какой? насколько он реалистичен для геодезии, и насколько важен для математической строгости рассуждений? - о том, что можно было бы упорствовать и доказать теорему сложно в исходной формулировке, а можно было бы изменить формулировку, ради простой идеи. Но и изменить формулировку не всегда просто, и хочется иметь факт доказанным в максимально общем случае... Это всё показало бы им стиль мышления математиков, не хуже собственно изложенного доказательства.

Имхо. Извините, если задел, и если не в тему.

[ex-math]

Дело в том, что приложения сейчас устроены так, что им даже площадь треугольника считать не надо. Все в готовых программах зашито, а программы в приборах. Так что сейчас средний теодолит умнее среднего геодезиста Единицы из них будут заниматься высшей геодезией или хотя бы сами программировать приборы. Я вижу свою задачу так, чтобы эти единицы, когда им понадобится математика, могли опереться на твердую базу, не пугались интеграла и в идеале понимали, что это такое.
Вообще это повсеместно в высшем образовании. Стройная система рассыпается на разрозненные курсы, потому что готовят грамотных потребителей/пользователей.

[Munin]

Всё равно сомнения вызывает у меня подготовка человека, умеющего что-то доказывать, но не умеющего считать. Как в анекдоте:

— Сколько будет $2\times 3$?
— $3\times 2,$ потому что умножение коммутативно!

Даже если мы говорим о "единицах, которые будут заниматься высшей геодезией, или хотя бы сами программировать приборы". Чего они запрограммируют, не умея сами на бумажке перейти в полярную систему координат?..

[ex-math]

Munin
Вы не поняли. На бумажке сами -- они умеют. Вот например в сферическую -- не умеют, но смогут сами научиться, имея базу. А если бы я дал пяток якобианов в виде "надо заучить", то этим бы и ограничились их "компетенции", как сейчас модно говорить. Короче говоря, я стою на той позиции, что даже жалкое подобие былого человека-творца лучше, чем самый компетентный грамотный потребитель.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1078388 писал(а):

Так что сейчас средний теодолит умнее среднего геодезиста

Купила блондинка стиральную машину с интеллектом. И попала к ней в рабство.

[Munin]

ex-math
Тогда всё ок. Я же не знал, о каком уровне идёт речь.

-- 01.12.2015 17:52:34 --

Евгений Машеров
Сегодня и блондинки бывают умней геодезистов...