2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение27.11.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Мне надо доказать студентам эту теорему.
Пусть у нас на плоскости $(x,y) $ дано множество $E $, а $G $ -- его образ на плоскости (на самом деле, полуполосе) $(r,\varphi) $. Я предполагаю, что $E $ компактно и имеет кусочно-гладкую границу. И я не хочу ничего предполагать про $G $. У меня проблема с доказательством измеримости $G $ по Жордану. Для этого достаточно, чтобы образ границы $E $ был кусочно-гладким. И он действительно состоит из гладких кусков, но как убедиться, что их конечное число? Вдруг можно придумать пример, в котором граница $E $ прихотливо петляет возле начала координат или луча, от которого отсчитываются углы, и в результате отобразится в счетное число гладких кусков.
Как можно несложно убедиться в измеримости $G $? Или как разумно поменять условие, чтобы это стало несложно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение28.11.2015, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ответ на вопрос зависит от имеющихся в распоряжении средств. Например, если уже доказано, что гладкая замена (т.е. непрерывно дифференцируемая с ненулевым якобианом ) сохраняет измеримость, то можно вырезать и затем стянуть в точку окрестность полюса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение28.11.2015, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Brukvalub
Спасибо за ответ.
В общем случае я такого утверждения не доказывал. Хотел опереться на то, что кусочно-гладкая кривая перейдет в кусочно-гладкую, но встретил описанное препятствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение29.11.2015, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Кажется, удалось преодолеть это препятствие малой кровью: покрыть границу $E$ маленькими квадратиками, каждый из них вписать в область, которая будет отображаться в прямоугольник (этакий узкий сектор узкого кольца). Эти прямоугольники покроют границу $G$, площади их можно оценить, ну и окрестность полюса вырезать тоже придется.
Дальше у меня все хорошо получается, кусочно-гладкость границы $G$ не потребуется.

-- 29.11.2015, 17:51 --

Самая гадкая теорема курса, все время с ней мучаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение29.11.2015, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А зачем она нужна? В таком странном частном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение29.11.2015, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
В полярные координаты им приходится иногда переходить. Да и совсем выкинуть замену из двойного интеграла кажется нехорошо. А на большее нет времени. Про якобиан говорю на словах, к сведению. Кто захочет -- почитает, разберется. У них по плану на самостоятельную работу часов больше, чем аудиторных.

Это не единственный пример. Поэтому же диффуры у нас не выше второго порядка.
Можно, конечно, ничего не доказывать, а только формулировать и демонстрировать применения, но я так делать не могу. Это уже будет не математика. Пусть меньше знают, зато добудут эти знания честным путем, а не в виде откровения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение29.11.2015, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ex-math в сообщении #1078069 писал(а):
В полярные координаты им приходится иногда переходить.

Ну а чем полярные координаты выделены перед какими-то другими? Систем координат на свете огромное количество. Если вы пытаетесь доказать что-то строго и в очень общем случае (как для слушателей мехмата), то - странно, что для очень частной системы координат. Если же вы распинаетесь перед технарями с низкими запросами, то - странно, что беспокоитесь о таких тонкостях. Можно "срезать углы", можно огрубить условия.

-- 29.11.2015 22:13:49 --

Например, где-нибудь в середине доказательства: "допустим, что у нас тут получится конечное число кусков, ну а если бесконечное - будем считать, что теорема неверна; в жизни вам такая экзотика вряд ли встретится".

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение30.11.2015, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Munin в сообщении #1078116 писал(а):
Ну а чем полярные координаты выделены перед какими-то другими?
Это геодезисты.

"Срезать углы" можно, но при этом я испытываю очень неприятное чувство. Кроме того, я убежден, что в результате этого курса они должны не знать, как доказывается теорема, а понять, что математика -- это не формулы из справочника, а система выводящихся друг из друга фактов. "Срезание углов" в доказательстве, на мой взгляд, подрубает это понимание. Если я что-то формулирую, то должен доказать. Если я что-то упоминаю в качестве замечания, то здесь достаточно правдоподобных рассуждений, указания общей идеи. Можно было бы "срезать углы" в формулировке: сразу предположить кусочную гладкость границ обеих областей. Для практики этого достаточно. Но тогда формулировка становится немного уродливой. Поэтому я решил так не делать, ведь это потребует всего-то лишних полчаса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение30.11.2015, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ex-math в сообщении #1078240 писал(а):
Кроме того, я убежден, что в результате этого курса они должны не знать, как доказывается теорема, а понять, что математика -- это не формулы из справочника, а система выводящихся друг из друга фактов.

Ну, вообще говоря, прикладники могут знать, как доказывается, не знать, как доказывается, понимать, что математика, не понимать, что математика... - это всё вторично. Главное, они должны уметь применять математику. Не в том смысле, что уметь что-то доказать, а в том, чтобы уметь что-то вычислить. Вопрос только об одном: либо только стандартными приёмами, либо не совсем стандартными, либо вообще уж собственно изобретёнными. И этот вопрос уже подгоняется по контексту курса: насколько высокие требования к окончившим курс, насколько низок их уровень на начало курса, сколько времени выделено на курс, стоит ли ориентироваться на отдельных умников, или лучше научить хоть чему-то, но большинство...

ex-math в сообщении #1078240 писал(а):
Поэтому я решил так не делать, ведь это потребует всего-то лишних полчаса.

Я боюсь, не слишком ли вы "всего-то получасами" разбрасываетесь. За полчаса можно было бы рассказать, например, о нескольких геодезических проекциях, упирая на то, что это замены координат. (И их свойства сохранять площади или углы записываются так-то и так-то, а расстояния сохранить вообще целиком нельзя, потому-то.) Или, можно было бы рассказать, как вы пытались доказать обсуждаемый факт, но придумали контрпример - какой? насколько он реалистичен для геодезии, и насколько важен для математической строгости рассуждений? - о том, что можно было бы упорствовать и доказать теорему сложно в исходной формулировке, а можно было бы изменить формулировку, ради простой идеи. Но и изменить формулировку не всегда просто, и хочется иметь факт доказанным в максимально общем случае... Это всё показало бы им стиль мышления математиков, не хуже собственно изложенного доказательства.

Имхо. Извините, если задел, и если не в тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение30.11.2015, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Дело в том, что приложения сейчас устроены так, что им даже площадь треугольника считать не надо. Все в готовых программах зашито, а программы в приборах. Так что сейчас средний теодолит умнее среднего геодезиста :D Единицы из них будут заниматься высшей геодезией или хотя бы сами программировать приборы. Я вижу свою задачу так, чтобы эти единицы, когда им понадобится математика, могли опереться на твердую базу, не пугались интеграла и в идеале понимали, что это такое.
Вообще это повсеместно в высшем образовании. Стройная система рассыпается на разрозненные курсы, потому что готовят грамотных потребителей/пользователей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение30.11.2015, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Всё равно сомнения вызывает у меня подготовка человека, умеющего что-то доказывать, но не умеющего считать. Как в анекдоте:
    — Сколько будет $2\times 3$?
    $3\times 2,$ потому что умножение коммутативно!
Даже если мы говорим о "единицах, которые будут заниматься высшей геодезией, или хотя бы сами программировать приборы". Чего они запрограммируют, не умея сами на бумажке перейти в полярную систему координат?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение01.12.2015, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Munin
Вы не поняли. На бумажке сами -- они умеют. Вот например в сферическую -- не умеют, но смогут сами научиться, имея базу. А если бы я дал пяток якобианов в виде "надо заучить", то этим бы и ограничились их "компетенции", как сейчас модно говорить. Короче говоря, я стою на той позиции, что даже жалкое подобие былого человека-творца лучше, чем самый компетентный грамотный потребитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение01.12.2015, 14:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1078388 писал(а):
Так что сейчас средний теодолит умнее среднего геодезиста :D


Купила блондинка стиральную машину с интеллектом. И попала к ней в рабство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полярная замена переменной в двойном интеграле
Сообщение01.12.2015, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ex-math
Тогда всё ок. Я же не знал, о каком уровне идёт речь.

-- 01.12.2015 17:52:34 --

Евгений Машеров
Сегодня и блондинки бывают умней геодезистов...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group