Дифференцирование ортогональных матриц

[oniksofers]

Столкнулся со следующим утверждением: пусть задано семейство ортогональных матриц $B(t)$, гладко зависящих от параметра t, тогда справедливо соотношение: $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$, где $A(t)$ - кососиммитрическая матрица, зависящая от $t$. Предлагается следующее доказательство: Обозначим $B(0)=B_{0}$. Разложим матрицу $B(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t=0$: $B(t)=(1+At+O(t^{2}))B_{0}$. Подставляя это выражение в условие ортогональности $BB^{T}=I$, получим, что $B_{0}^{T}(A^{T}+A)B_{0}+O(t^{2})=0$, т.е $A+A^{T}=0$. Отсюда делается вывод, что матрица $A=\frac{dB}{dt}B^{-1}$ - кососимметрическая и мол теорема доказана. И вот этот последний переход мне не понятен, я пробовал продифференцировать разложение по $t$, тогда я получаю, что $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B_{0}+O(t)$, что ну никак не совпадает с тем, что надо было доказывать. Собственно прошу пояснить, что тут не так.

[ewert]

oniksofers в сообщении #1077868 писал(а):

Подставляя это выражение в условие ортогональности $BB^{T}=I$, получим, что $B_{0}^{T}(A^{T}+A)B_{0}+O(t^{2})=0$,

Не получим. Во-первых, одно $t$ потеряно, а во-вторых, получим нечто гораздо более простое. "Сударыня, Вас обманули: Вам подсунули гораздо лучший мех!"

oniksofers в сообщении #1077868 писал(а):

я пробовал продифференцировать разложение по $t$, тогда я получаю, что $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B_{0}+O(t)$,

Дифференцировать О-большие 1) нельзя и 2) не нужно. А нужно просто разделить на $t$ и в полученном устремить его к нулю.

[oniksofers]

ewert в сообщении #1077907 писал(а):

Во-первых, одно $t$ потеряно

Потеряно

ewert в сообщении #1077907 писал(а):

Не получим.

Вообще да, получим нечто другое а именно:
$(I+At)B_{0}B^{T}_{0}(I+A^{T}t)=I$ откуда
$(A+A^{T})t+O(t^{2})=0$

ewert в сообщении #1077907 писал(а):

А нужно просто разделить на $t$ и в полученном устремить его к нулю.

Т.е взять разложение ряда тейлора и поделить его на $t$ в пределе к нулю? Тогда
$\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B_{0}$, но это вроде немного не то, что надо, разве нет?

[ewert]

Коэффициент при первой степени в разложении Тейлора (если оно именно до первой степени) -- это по определению и есть производная. Т.е. после того, как это разложение выписано -- ничего дифференцировать уже не нужно.

[oniksofers]

ewert в сообщении #1077915 писал(а):

Коэффициент при первой степени в разложении Тейлора (если оно именно до первой степени) -- это по определению и есть производная. Т.е. после того, как это разложение выписано -- ничего дифференцировать уже не нужно.

Действительно, так, а вместо $B_{0}$ мы можем писать $B(t)$, потому что можем раскладывать в любой точке $t$?

[ewert]

oniksofers в сообщении #1077917 писал(а):

вместо $B_{0}$ мы можем писать $B(t)$, потому что можем раскладывать в любой точке $t$?

Естественно. Просто у Вас в стартовом посте опущено стандартное и очевидное вступительное заклинание: "для определённости будем считать, что $t_0=0$"

[oniksofers]

ewert в сообщении #1077920 писал(а):

Естественно. Просто у Вас в стартовом посте опущено стандартное и очевидное вступительное заклинание: "для определённости будем считать, что $t_0=0$"

Огромное спасибо. Теперь этот вопрос стал очевидным до неприличия.

[Red_Herring]

oniksofers в сообщении #1077868 писал(а):

Столкнулся со следующим утверждением: пусть задано семейство ортогональных матриц $B(t)$, гладко зависящих от параметра t, тогда справедливо соотношение: $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$, где $A(t)$ - кососиммитрическая матрица, зависящая от $t$.

Раберитесь что дано:
пусть задано семейство ортогональных матриц $B(t)$, гладко зависящих от параметра $t$, и пусть справедливо соотношение: $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$.

И что требуется доказать:
Тогда $A(t)$ - кососиммитрическая матрица.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1077949 писал(а):

, и пусть справедливо соотношение: $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$.

А почему, собственно, бы и не пусть?...

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1077953 писал(а):

А почему, собственно, бы и не пусть?...

Вот я и говорю: пусть. А вовсе не тогда как у ТС.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1077958 писал(а):

Вот я и говорю: пусть. А вовсе не тогда как у ТС.

А почему, собственно, бы и не тогда?...

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1077959 писал(а):

А почему, собственно, бы и не тогда?...

Потому что в

oniksofers в сообщении #1077868 писал(а):

Столкнулся со следующим утверждением: пусть задано семейство ортогональных матриц $B(t)$, гладко зависящих от параметра t, тогда справедливо соотношение: $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$

равенство $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$ не следует ниоткуда

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1077962 писал(а):

равенство $\frac{dB(t)}{dt}=A(t)B(t)$ не следует ниоткуда

а равенство $\frac{dB(t)}{dt}\cdot B^{-1}(t)\mathop{=}\limits^{\mathrm{def}}A(t)$ тоже ниоткуда не следует?...

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1077964 писал(а):

а равенство $\frac{dB(t)}{dt}\cdot B^{-1}(t)\mathop{=}\limits^{\mathrm{def}}A(t)$ тоже ниоткуда не следует?...

Следует. Из равенства $B'(t)=A(t)B(t)$. То что это определение у ТС не сказано, это уже Ваше дополнение.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1077969 писал(а):

То что это определение у ТС не сказано, это уже Ваше дополнение.

Фактически сказано. И это ни разу не моё и ни разу не дополнение. Речь идёт о половинке вполне стандартной теоремы: однопараметрическое семейство матриц сохраняет ортогональность тогда и только тогда, когда является решением линейного дифференциального уравнения с некоторой антисимметричной матрицей. Вот разве что слова "некоторой" у ТС и недостаёт; но это уже эстетство.

-- Вс ноя 29, 2015 18:37:20 --

На самом деле там всё же был небольшой дефект, но был совсем не там и в совсем противоположную сторону:

oniksofers в сообщении #1077868 писал(а):

Разложим матрицу $B(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t=0$:

Ряды Тейлора тут совершенно не причём, дело всего лишь в непрерывной дифференцируемости.