2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями
Сообщение25.11.2015, 00:04 


24/11/15
14
Vince Diesel в сообщении #1076430 писал(а):
Для такой функции начальное условие не выполнено: $u(x,y,0)=2\delta(x,y)-2\delta(x-2x_t,y-2y_t)$.


так...что то я не понимаю тогда ....
посмотрите, если у нас только 1D, $ x \in (- \infty, \infty)$ и только поглощающая точка $L$, а начальная точка в $x=0$ (т.е $x(0,0)= \delta(x)$)
то, функция Грина для свободной диффузии в этом случае : $G(x,x';t,0)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \exp^{-(x-x')^2 /4t }$
А решение с учетом точки $L$ будет: $\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}( \exp^{-x^2 / 4t}- \exp^{-(2L-x)^2 /4t})$

Но таким образом начальное условие тоже не выполняется, но разве не $t=0$ вводит сингулярность в начальное условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями
Сообщение25.11.2015, 00:14 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
mas19 в сообщении #1076437 писал(а):
А решение с учетом точки $L$ будет: $\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}( \exp^{-x^2 / 4t}- \exp^{-(2L-x)^2 /4t})$

Условие Неймана в нуле не выполнено (вообще даже $x'$ отсутствует). Функция Грина на отрезке с условием Дирихле не одном конце и Неймана на другом если и выпишется, то в виде ряда. И формула будет работать только при $x\in [0,L]$.

А та функция, что была выше будет обращаться в ноль не только в точке $(x_t,y_t)$, но и на всей прямой через нее проходящей. Если рассматривать ее в полуплоскости, то с точностью до константы это будет функция Грина первой краевой задачи. А на всей плоскости из-за отражения появляется еще один источник со знаком минус.

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями
Сообщение25.11.2015, 00:24 


24/11/15
14
Да, извините, забыл поставить формулировку задачи
$$u_{xx}=u_t \quad x \in (-\infty, \infty )$$
$$u(0,0)=\delta(x) $$
$$u(L)=0$$

тогда решением должно быть
mas19 в сообщении #1076437 писал(а):
$\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}( \exp^{-x^2 / 4t}- \exp^{-(2L-x)^2 /4t})$


если Вас не затруднит открыть ссылку, то там тоже самое https://en.wikipedia.org/wiki/First-hitting-time_model

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями
Сообщение25.11.2015, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Глупости. Это решение задачи
\begin{align}
&u_t=u_{xx}  && x>L,t>0\\
&u|_{x=L}=0,\\
&u|_{t=0}=\delta(x) &&x>L
\end{align}

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями
Сообщение25.11.2015, 00:38 


24/11/15
14
Да, Вы правы. Зависит от взгляда на формулировку...
имеется одна частица, появляющаяся в момент времени 0 в точке 0, которая свободно движется на $x \in (-\infty,\infty)$. Если я хочу получить решение,учитывая условие $u(L)=0$, то таким образом у сужаю область интереса до $x \in (-\infty,L)$ и применяя метод изображения я нахожу вышеупомянутое решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group