уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями

[mas19]

Vince Diesel в сообщении #1076430 писал(а):

Для такой функции начальное условие не выполнено: $u(x,y,0)=2\delta(x,y)-2\delta(x-2x_t,y-2y_t)$.

так...что то я не понимаю тогда ....
посмотрите, если у нас только 1D, $ x \in (- \infty, \infty)$ и только поглощающая точка $L$, а начальная точка в $x=0$ (т.е $x(0,0)= \delta(x)$)
то, функция Грина для свободной диффузии в этом случае : $G(x,x';t,0)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \exp^{-(x-x')^2 /4t }$
А решение с учетом точки $L$ будет: $\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}( \exp^{-x^2 / 4t}- \exp^{-(2L-x)^2 /4t})$

Но таким образом начальное условие тоже не выполняется, но разве не $t=0$ вводит сингулярность в начальное условие?

[Vince Diesel]

mas19 в сообщении #1076437 писал(а):

А решение с учетом точки $L$ будет: $\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}( \exp^{-x^2 / 4t}- \exp^{-(2L-x)^2 /4t})$

Условие Неймана в нуле не выполнено (вообще даже $x'$ отсутствует). Функция Грина на отрезке с условием Дирихле не одном конце и Неймана на другом если и выпишется, то в виде ряда. И формула будет работать только при $x\in [0,L]$.

А та функция, что была выше будет обращаться в ноль не только в точке $(x_t,y_t)$, но и на всей прямой через нее проходящей. Если рассматривать ее в полуплоскости, то с точностью до константы это будет функция Грина первой краевой задачи. А на всей плоскости из-за отражения появляется еще один источник со знаком минус.

[mas19]

Да, извините, забыл поставить формулировку задачи

$$u_{xx}=u_t \quad x \in (-\infty, \infty )$$

$$u(0,0)=\delta(x) $$

$$u(L)=0$$

тогда решением должно быть

mas19 в сообщении #1076437 писал(а):

$\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}( \exp^{-x^2 / 4t}- \exp^{-(2L-x)^2 /4t})$

если Вас не затруднит открыть ссылку, то там тоже самое https://en.wikipedia.org/wiki/First-hitting-time_model

[Red_Herring]

Глупости. Это решение задачи

\begin{align} &u_t=u_{xx} && x>L,t>0\\ &u|_{x=L}=0,\\ &u|_{t=0}=\delta(x) &&x>L \end{align}

[mas19]

Да, Вы правы. Зависит от взгляда на формулировку...
имеется одна частица, появляющаяся в момент времени 0 в точке 0, которая свободно движется на $x \in (-\infty,\infty)$. Если я хочу получить решение,учитывая условие $u(L)=0$, то таким образом у сужаю область интереса до $x \in (-\infty,L)$ и применяя метод изображения я нахожу вышеупомянутое решение.