LU-разложение

[Бодигрим]

В лабе по вычметодам встретилось задание решить СЛАУ методом LU-разложения. Что это за зверь такой? У меня сложилось впечатление, что это что-то в районе метода Гаусса.

[Echo-Off]

Если есть система $Ax=b$, то матрицу $A$ представляем ввиде $A=LU$, где $L$ - нижнетреугольная, $U$ - верхнетреугольная, и решаем системы $Ly=b$ и $Ux=y$. Ввиду треугольности матриц, такие две системы решить - раз плюнуть. Самое сложное - найти $LU$-разложение, но, если оно найдено, то можно будет решать много систем $Ax_i=b_i$ сравнительно быстро.

[Бодигрим]

Спасибо за объяснение.

[Зангези]

Echo-Off писал(а):

Если есть система $Ax=b$, то матрицу $A$ представляем ввиде $A=LU$, где $L$ - нижнетреугольная, $U$ - верхнетреугольная.

В общем случае классическое $LU$-разложение имеет вид $L \cdot U = P \cdot A \cdot T$, где, как уже говорилось, $L$ - нижнетреугольная, а $U$ - трапециевидная матрица, $P$ и $T$ - матрицы перстановок строк и столбцов (получаются из единичной переменой мест для строк и столбцов соответственно). На решении СЛАУ наличие не единичных $P$ и $T$ не сказывается, и всё происходит так, как указал уважаемый Echo-Off: изменение порядка записи уравнений в матричном виде и перемена мест слагаемых на метод решения СЛАУ никак не влияют. Матрица $U$ может быть верхнетреугольной только для квадратной невырожденной матрицы $A$.

[Бодигрим]

Ага, учтем-с... Спасибо.