2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 LU-разложение
Сообщение19.03.2008, 23:59 
Аватара пользователя
В лабе по вычметодам встретилось задание решить СЛАУ методом LU-разложения. Что это за зверь такой? У меня сложилось впечатление, что это что-то в районе метода Гаусса.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 00:06 
Аватара пользователя
Если есть система $Ax=b$, то матрицу $A$ представляем ввиде $A=LU$, где $L$ - нижнетреугольная, $U$ - верхнетреугольная, и решаем системы $Ly=b$ и $Ux=y$. Ввиду треугольности матриц, такие две системы решить - раз плюнуть. Самое сложное - найти $LU$-разложение, но, если оно найдено, то можно будет решать много систем $Ax_i=b_i$ сравнительно быстро.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 01:04 
Аватара пользователя
Спасибо за объяснение.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 09:11 
Echo-Off писал(а):
Если есть система $Ax=b$, то матрицу $A$ представляем ввиде $A=LU$, где $L$ - нижнетреугольная, $U$ - верхнетреугольная.

В общем случае классическое $LU$-разложение имеет вид $L \cdot U = P \cdot A \cdot T$, где, как уже говорилось, $L$ - нижнетреугольная, а $U$ - трапециевидная матрица, $P$ и $T$ - матрицы перстановок строк и столбцов (получаются из единичной переменой мест для строк и столбцов соответственно). На решении СЛАУ наличие не единичных $P$ и $T$ не сказывается, и всё происходит так, как указал уважаемый Echo-Off: изменение порядка записи уравнений в матричном виде и перемена мест слагаемых на метод решения СЛАУ никак не влияют. Матрица $U$ может быть верхнетреугольной только для квадратной невырожденной матрицы $A$.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 14:25 
Аватара пользователя
Ага, учтем-с... Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group