Замкнутая форма факториала над рациональной функцией

[fractalon]

В одном задачнике увидел задачу: вычислить произведение $\frac{2^3-1}{2^3+1} \frac{3^3-1}{3^3+1} \dots \frac{n^3-1}{n^3+1}$
В ответе к задаче значилось $\frac{2}{3} \left({1+\frac{1}{n(n+1)}}\right)$, что легко проверяется по индукции. И если разложить разность и сумму кубов на множители и представить ответ как одну дробь, то даже понятно примерно, как можно было найти такой ответ.

Но мне сейчас интересен другой вопрос - если бы вместо сумм и разности куба и единицы стояли произвольные полиномы - всегда ли возможен был бы ответ в замкнутом виде в форме рациональной же функции?
Более формально, пусть $P(n), Q(n)$ - полиномы (все коэффициенты - целые) одинаковой степени с одинаковым старшим членом (или даже со старшим членом единицей, неважно). Верно ли, что всегда существуют $P'(n), Q'(n)$ такие, что для достаточно больших $n$ верно $\frac{P(1) P(2) \dots P(n)}{Q(1) Q(2) \dots Q(n)} = \frac{P'(n)}{Q'(n)}$?
Для полиномов первой степени всё понятно - хотя и степень полиномов $P'(n), Q'(n)$ зависит от свободного члена, что, на первый взгляд, осложняет возможность подхода к проблеме...
Если проверять, например, для данных $P$ и $Q$ верность утверждения, то первое что приходит в голову - делать гипотезу о степени $P'$ и $Q'$, а потом просто раскрывать скобки в рекуррентном выражении и получать систему уравнений, где в качестве неизвестных будут числа вида $a_i b_j$ ($a_i$, $b_i$ - соответственно, коэффициенты $P$ и $Q$). Но всегда ли есть гарантия, что среди вычисленных по этой СЛАУ произведений не будет никаких противоречий?

Ну, и, конечно, даже если гипотеза не верна для всех пар полиномов, то интересно, насколько широк класс рациональных функций (и как его описать?), для произведения которых такой замкнутый вид возможен.

[Vince Diesel]

Если слева произведение стремится к ненулевому числу, то $P'$ и $Q'$ должны быть многочлены одинаково порядка, а предел равен отношению их старших коэффициентов. И если он иррационален, то можно ли получить рациональные значения для $P'/Q'$ для всех $n$ начиная с некоторого?

Вот, например,

$$ \prod _{k=2}^\infty \left(1-\frac{1}{k^3}\right)= \frac{\cosh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{3 \pi }, $$

частичные произведения

$$\prod _{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^3}\right)= \frac{\cosh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right) \Gamma \left(n-\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(n+\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right)}{3 \pi n^3 (n-1)!^2}.$$

[fractalon]

Ага, с общим случаем облом... Спасибо.
Но это если предел иррационален. А как часто он рационален и бывает ли в этом случае невозможной рациональность частичного произведения?

Остаётся актуальным только второй вопрос - как по данному $P(n)/Q(n)$ определить, выражается ли частичное произведение как частное многочленов кроме того громздкого (и не останавливающегося при отсутствии ответа) алгоритма, который я описал в первом посте.

[iifat]

fractalon в сообщении #1075961 писал(а):

как часто он рационален

Что есть «как часто»? Вообще-то, иррациональных чисел гораздо больше
(в некотором смысле), чем рациональных, так что, подозреваю, не слишком часто.

fractalon в сообщении #1075961 писал(а):

бывает ли в этом случае невозможной рациональность частичного произведения?

Вы опять торопитесь, оттого получаются плохо сформулированные вопросы. Частичные произведения, разумеется, будут рациональными. Любое иррациональное число можно представить пределом рациональной последовательности.

fractalon в сообщении #1075961 писал(а):

определить, выражается ли частичное произведение как частное многочленов

Строго индивидуально, подозреваю. Впрочем, почему б вам не попробовать на паре примеров?