2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замкнутая форма факториала над рациональной функцией
Сообщение22.11.2015, 00:37 


08/09/13
210
В одном задачнике увидел задачу: вычислить произведение $\frac{2^3-1}{2^3+1} \frac{3^3-1}{3^3+1} \dots \frac{n^3-1}{n^3+1}$
В ответе к задаче значилось $\frac{2}{3} \left({1+\frac{1}{n(n+1)}}\right)$, что легко проверяется по индукции. И если разложить разность и сумму кубов на множители и представить ответ как одну дробь, то даже понятно примерно, как можно было найти такой ответ.

Но мне сейчас интересен другой вопрос - если бы вместо сумм и разности куба и единицы стояли произвольные полиномы - всегда ли возможен был бы ответ в замкнутом виде в форме рациональной же функции?
Более формально, пусть $P(n), Q(n)$ - полиномы (все коэффициенты - целые) одинаковой степени с одинаковым старшим членом (или даже со старшим членом единицей, неважно). Верно ли, что всегда существуют $P'(n), Q'(n)$ такие, что для достаточно больших $n$ верно $\frac{P(1) P(2) \dots P(n)}{Q(1) Q(2) \dots Q(n)} = \frac{P'(n)}{Q'(n)}$?
Для полиномов первой степени всё понятно - хотя и степень полиномов $P'(n), Q'(n)$ зависит от свободного члена, что, на первый взгляд, осложняет возможность подхода к проблеме...
Если проверять, например, для данных $P$ и $Q$ верность утверждения, то первое что приходит в голову - делать гипотезу о степени $P'$ и $Q'$, а потом просто раскрывать скобки в рекуррентном выражении и получать систему уравнений, где в качестве неизвестных будут числа вида $a_i b_j$ ($a_i$, $b_i$ - соответственно, коэффициенты $P$ и $Q$). Но всегда ли есть гарантия, что среди вычисленных по этой СЛАУ произведений не будет никаких противоречий?

Ну, и, конечно, даже если гипотеза не верна для всех пар полиномов, то интересно, насколько широк класс рациональных функций (и как его описать?), для произведения которых такой замкнутый вид возможен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма факториала над рациональной функцией
Сообщение22.11.2015, 10:37 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Если слева произведение стремится к ненулевому числу, то $P'$ и $Q'$ должны быть многочлены одинаково порядка, а предел равен отношению их старших коэффициентов. И если он иррационален, то можно ли получить рациональные значения для $P'/Q'$ для всех $n$ начиная с некоторого?

Вот, например,
$$
\prod _{k=2}^\infty \left(1-\frac{1}{k^3}\right)=
\frac{\cosh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{3 \pi },
$$
частичные произведения
$$\prod _{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^3}\right)=
\frac{\cosh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right) \Gamma \left(n-\frac{i \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(n+\frac{i
   \sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\right)}{3 \pi  n^3 (n-1)!^2}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма факториала над рациональной функцией
Сообщение23.11.2015, 13:39 


08/09/13
210
Ага, с общим случаем облом... Спасибо.
Но это если предел иррационален. А как часто он рационален и бывает ли в этом случае невозможной рациональность частичного произведения?

Остаётся актуальным только второй вопрос - как по данному $P(n)/Q(n)$ определить, выражается ли частичное произведение как частное многочленов кроме того громздкого (и не останавливающегося при отсутствии ответа) алгоритма, который я описал в первом посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма факториала над рациональной функцией
Сообщение23.11.2015, 14:00 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
fractalon в сообщении #1075961 писал(а):
как часто он рационален
Что есть «как часто»? Вообще-то, иррациональных чисел гораздо больше
(в некотором смысле), чем рациональных, так что, подозреваю, не слишком часто.
fractalon в сообщении #1075961 писал(а):
бывает ли в этом случае невозможной рациональность частичного произведения?
Вы опять торопитесь, оттого получаются плохо сформулированные вопросы. Частичные произведения, разумеется, будут рациональными. Любое иррациональное число можно представить пределом рациональной последовательности.
fractalon в сообщении #1075961 писал(а):
определить, выражается ли частичное произведение как частное многочленов
Строго индивидуально, подозреваю. Впрочем, почему б вам не попробовать на паре примеров?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group