Объем общей области двух эллипсоидов

[Anna from Svetl]

Задача такая. Имеется два эллипсоида, заданных уравнениями

$$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} =1\quad\text{и}\quad \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} =1. $$

Подразумевается, что вектор $\vec{r}=(x_0,y_0,z_0)$ таков, что эллипсоиды имеют некоторую общую область. Мне нужно отыскать объем этой области.
Сначала я выполнила преобразование

$$ x=ax',\quad y=by', \quad z=cz'. $$

Тогда оба эллипсоида переходят в сферы единичного радиуса:

$$ x'^2+y'^2+z'^2=1,\quad \text{и}\quad (x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=1, $$

где $x'_0=x_0/a$, $y'_0 = y_0/b$, $z'_0 = z_0/c$, и вектор $\vec{r}$ преобразуется в вектор $\vec{r'}=(x'_0,y'_0,z'_0)$. Затем я произвела поворот системы координат так, чтобы ось $Z'$ была сонаправлена с вектором $\vec{r'}$. Тогда задача сводится к простой задаче о пересечении двух сфер единичного радиуса, одна из которых имеет центр в начале координат, а цент другой смещен по оси $Z'$ на расстояние $r'$. Исходный интеграл по объему в цилиндрической системе координат можно записать как

$$ \int\limits_{V}{dxdydz} = abc\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-r'^2/4}}{\rho^2d\rho}\int\limits_{r'-\sqrt{1-\rho^2}}^{\sqrt{1-\rho^2}}{dz}=\dfrac{4\pi}{3}\,abc\,\pi\left(1-\dfrac{3}{4}\,r'+\dfrac{1}{16}\,r'^3\right). $$

Первый вопрос: допустимы ли такие действия при нахождении объема? Если да, то второй вопрос: можно ли заменить $r'$ в конечном выражении на

$$ \sqrt{\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}+\dfrac{z_0^2}{c^2}}? $$

[provincialka]

Последнее точно можно.
А вот что такое у вас $\rho^2$?
Кроме того, ИМХО, удобнее брать внешний интеграл по $dz$. Впрочем, в этом случае можно и однократным интегралом обойтись.

[Anna from Svetl]

provincialka в сообщении #1075826 писал(а):

А вот что такое у вас $\rho^2$?

Это квадрат одной из полярных координат. Если обозначить координаты, получившиеся после масштабирования и поворота как $x'',y'',z''$, то $\rho^2 = x''^2+y''^2$.

[Brukvalub]

Anna from Svetl в сообщении #1075816 писал(а):

Имеется два эллипса, заданных уравнениями

$$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} =1\quad\text{и}\quad \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} =1. $$

Anna from Svetl в сообщении #1075816 писал(а):

Тогда оба эллипса переходят в окружности единичного радиуса:

$$ x'^2+y'^2+z'^2=1,\quad \text{и}\quad (x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=1, $$

А это точно эллипсы и окружности?

[Anna from Svetl]

Brukvalub в сообщении #1075834 писал(а):

А это точно эллипсы и окружности?

Ну разумеется, я имела в виду эллипсоиды и сферы. Что-то я их в последнее время все время так обзываю.

[provincialka]

Anna from Svetl в сообщении #1075827 писал(а):

Это квадрат одной из полярных координат.

Это-то я понимаю. А вот зачем он под интегралом? Что он там обозначает?

[Anna from Svetl]

provincialka, еще одна ошибка. Там, конечно, должно быть просто $\rho$.

[provincialka]

Вот-вот! И лучше брать однократным интегралом по $z$ от площади сечения!
(Начальный этап вы разрулили лихо! И вдруг такие досадные неточности)

[Anna from Svetl]

provincialka, ну интеграл-то я правильный брала, это при записи на форум опечатка появилась. Эх, давно я объемы через интегралы не искала. Совсем забыла, что можно по площади еще найти.
Так идея, в целом, верная?

[provincialka]

Ага. Собственно, тройной интеграл тут нужен, чтобы от коэффициентов избавиться. Через якобиан. А дальше можно и однократным.

[Anna from Svetl]

provincialka, спасибо. Осталось с параллелепипедом и цилиндром разобраться.
Для параллелепипеда с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям с длинами $a$ по оси $X$, $b$ по оси $Y$ и $c$ по оси $Z$ в аналогичной ситуации так получится

$$ V=(a-|x_0|)(b-|y_0|)(c-|z_0|)? $$

[provincialka]

Хм... А задача-то какая? Если "аналогичная", то будет либо два параллелепипеда, либо два цилиндра...
А у вас что?

[Anna from Svetl]

provincialka, два параллелепипеда или два цилиндра.

[provincialka]

Anna from Svetl в сообщении #1075889 писал(а):

Для параллелепипеда с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям с длинами

Ну, не оба с центрами в начале координат? Наверное, у второго центр в $(x_0,y_0,z_0)$?
Тогда вроде верно.
Для цилиндров надо считать.

Заметьте, что достаточно посчитать площадь сечения, и высоту общей части, потом их перемножить.
Собственно, тут интегралы и не нужны, для сегмента круга площадь можно найти геометрически.

[ewert]

provincialka в сообщении #1075872 писал(а):

Собственно, тройной интеграл тут нужен, чтобы от коэффициентов избавиться.

И даже для этого не нужен: если растяжения проводятся по взаимно перпендикулярным осям, то объём изменяется соответственно просто по определению объёма.