2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение22.11.2015, 23:22 
Задача такая. Имеется два эллипсоида, заданных уравнениями
$$
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} =1\quad\text{и}\quad \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} =1.
$$
Подразумевается, что вектор $\vec{r}=(x_0,y_0,z_0)$ таков, что эллипсоиды имеют некоторую общую область. Мне нужно отыскать объем этой области.
Сначала я выполнила преобразование
$$
x=ax',\quad y=by', \quad z=cz'.
$$
Тогда оба эллипсоида переходят в сферы единичного радиуса:
$$
x'^2+y'^2+z'^2=1,\quad \text{и}\quad (x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=1,
$$
где $x'_0=x_0/a$, $y'_0 = y_0/b$, $z'_0 = z_0/c$, и вектор $\vec{r}$ преобразуется в вектор $\vec{r'}=(x'_0,y'_0,z'_0)$. Затем я произвела поворот системы координат так, чтобы ось $Z'$ была сонаправлена с вектором $\vec{r'}$. Тогда задача сводится к простой задаче о пересечении двух сфер единичного радиуса, одна из которых имеет центр в начале координат, а цент другой смещен по оси $Z'$ на расстояние $r'$. Исходный интеграл по объему в цилиндрической системе координат можно записать как
$$
\int\limits_{V}{dxdydz} = abc\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-r'^2/4}}{\rho^2d\rho}\int\limits_{r'-\sqrt{1-\rho^2}}^{\sqrt{1-\rho^2}}{dz}=\dfrac{4\pi}{3}\,abc\,\pi\left(1-\dfrac{3}{4}\,r'+\dfrac{1}{16}\,r'^3\right).
$$
Первый вопрос: допустимы ли такие действия при нахождении объема? Если да, то второй вопрос: можно ли заменить $r'$ в конечном выражении на
$$
\sqrt{\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}+\dfrac{z_0^2}{c^2}}?
$$

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение22.11.2015, 23:47 
Аватара пользователя
Последнее точно можно.
А вот что такое у вас $\rho^2$?
Кроме того, ИМХО, удобнее брать внешний интеграл по $dz$. Впрочем, в этом случае можно и однократным интегралом обойтись.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение22.11.2015, 23:51 
provincialka в сообщении #1075826 писал(а):
А вот что такое у вас $\rho^2$?

Это квадрат одной из полярных координат. Если обозначить координаты, получившиеся после масштабирования и поворота как $x'',y'',z''$, то $\rho^2 = x''^2+y''^2$.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:09 
Аватара пользователя
Anna from Svetl в сообщении #1075816 писал(а):
Имеется два эллипса, заданных уравнениями
$$
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} =1\quad\text{и}\quad \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} =1.
$$

Anna from Svetl в сообщении #1075816 писал(а):
Тогда оба эллипса переходят в окружности единичного радиуса:
$$
x'^2+y'^2+z'^2=1,\quad \text{и}\quad (x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=1,
$$

А это точно эллипсы и окружности? :shock:

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:20 
Brukvalub в сообщении #1075834 писал(а):
А это точно эллипсы и окружности?

Ну разумеется, я имела в виду эллипсоиды и сферы. Что-то я их в последнее время все время так обзываю.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:22 
Аватара пользователя
Anna from Svetl в сообщении #1075827 писал(а):
Это квадрат одной из полярных координат.

Это-то я понимаю. А вот зачем он под интегралом? Что он там обозначает?

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:39 
provincialka, еще одна ошибка. Там, конечно, должно быть просто $\rho$.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:40 
Аватара пользователя
Вот-вот! И лучше брать однократным интегралом по $z$ от площади сечения!
(Начальный этап вы разрулили лихо! И вдруг такие досадные неточности)

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 01:00 
provincialka, ну интеграл-то я правильный брала, это при записи на форум опечатка появилась. Эх, давно я объемы через интегралы не искала. Совсем забыла, что можно по площади еще найти.
Так идея, в целом, верная?

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 02:34 
Аватара пользователя
Ага. Собственно, тройной интеграл тут нужен, чтобы от коэффициентов избавиться. Через якобиан. А дальше можно и однократным.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 03:15 
provincialka, спасибо. Осталось с параллелепипедом и цилиндром разобраться.
Для параллелепипеда с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям с длинами $a$ по оси $X$, $b$ по оси $Y$ и $c$ по оси $Z$ в аналогичной ситуации так получится
$$
V=(a-|x_0|)(b-|y_0|)(c-|z_0|)?
$$

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 03:17 
Аватара пользователя
Хм... А задача-то какая? Если "аналогичная", то будет либо два параллелепипеда, либо два цилиндра...
А у вас что?

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 04:04 
provincialka, два параллелепипеда или два цилиндра.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 11:09 
Аватара пользователя
Anna from Svetl в сообщении #1075889 писал(а):
Для параллелепипеда с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям с длинами

Ну, не оба с центрами в начале координат? Наверное, у второго центр в $(x_0,y_0,z_0)$?
Тогда вроде верно.
Для цилиндров надо считать.

Заметьте, что достаточно посчитать площадь сечения, и высоту общей части, потом их перемножить.
Собственно, тут интегралы и не нужны, для сегмента круга площадь можно найти геометрически.

 
 
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 11:31 
provincialka в сообщении #1075872 писал(а):
Собственно, тройной интеграл тут нужен, чтобы от коэффициентов избавиться.

И даже для этого не нужен: если растяжения проводятся по взаимно перпендикулярным осям, то объём изменяется соответственно просто по определению объёма.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group