2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение22.11.2015, 23:22 


05/10/10
152
Задача такая. Имеется два эллипсоида, заданных уравнениями
$$
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} =1\quad\text{и}\quad \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} =1.
$$
Подразумевается, что вектор $\vec{r}=(x_0,y_0,z_0)$ таков, что эллипсоиды имеют некоторую общую область. Мне нужно отыскать объем этой области.
Сначала я выполнила преобразование
$$
x=ax',\quad y=by', \quad z=cz'.
$$
Тогда оба эллипсоида переходят в сферы единичного радиуса:
$$
x'^2+y'^2+z'^2=1,\quad \text{и}\quad (x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=1,
$$
где $x'_0=x_0/a$, $y'_0 = y_0/b$, $z'_0 = z_0/c$, и вектор $\vec{r}$ преобразуется в вектор $\vec{r'}=(x'_0,y'_0,z'_0)$. Затем я произвела поворот системы координат так, чтобы ось $Z'$ была сонаправлена с вектором $\vec{r'}$. Тогда задача сводится к простой задаче о пересечении двух сфер единичного радиуса, одна из которых имеет центр в начале координат, а цент другой смещен по оси $Z'$ на расстояние $r'$. Исходный интеграл по объему в цилиндрической системе координат можно записать как
$$
\int\limits_{V}{dxdydz} = abc\int\limits_{0}^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-r'^2/4}}{\rho^2d\rho}\int\limits_{r'-\sqrt{1-\rho^2}}^{\sqrt{1-\rho^2}}{dz}=\dfrac{4\pi}{3}\,abc\,\pi\left(1-\dfrac{3}{4}\,r'+\dfrac{1}{16}\,r'^3\right).
$$
Первый вопрос: допустимы ли такие действия при нахождении объема? Если да, то второй вопрос: можно ли заменить $r'$ в конечном выражении на
$$
\sqrt{\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}+\dfrac{z_0^2}{c^2}}?
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение22.11.2015, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Последнее точно можно.
А вот что такое у вас $\rho^2$?
Кроме того, ИМХО, удобнее брать внешний интеграл по $dz$. Впрочем, в этом случае можно и однократным интегралом обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение22.11.2015, 23:51 


05/10/10
152
provincialka в сообщении #1075826 писал(а):
А вот что такое у вас $\rho^2$?

Это квадрат одной из полярных координат. Если обозначить координаты, получившиеся после масштабирования и поворота как $x'',y'',z''$, то $\rho^2 = x''^2+y''^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Anna from Svetl в сообщении #1075816 писал(а):
Имеется два эллипса, заданных уравнениями
$$
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} =1\quad\text{и}\quad \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_0)^2}{b^2}+\dfrac{(z-z_0)^2}{c^2} =1.
$$

Anna from Svetl в сообщении #1075816 писал(а):
Тогда оба эллипса переходят в окружности единичного радиуса:
$$
x'^2+y'^2+z'^2=1,\quad \text{и}\quad (x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=1,
$$

А это точно эллипсы и окружности? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:20 


05/10/10
152
Brukvalub в сообщении #1075834 писал(а):
А это точно эллипсы и окружности?

Ну разумеется, я имела в виду эллипсоиды и сферы. Что-то я их в последнее время все время так обзываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Anna from Svetl в сообщении #1075827 писал(а):
Это квадрат одной из полярных координат.

Это-то я понимаю. А вот зачем он под интегралом? Что он там обозначает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:39 


05/10/10
152
provincialka, еще одна ошибка. Там, конечно, должно быть просто $\rho$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вот-вот! И лучше брать однократным интегралом по $z$ от площади сечения!
(Начальный этап вы разрулили лихо! И вдруг такие досадные неточности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 01:00 


05/10/10
152
provincialka, ну интеграл-то я правильный брала, это при записи на форум опечатка появилась. Эх, давно я объемы через интегралы не искала. Совсем забыла, что можно по площади еще найти.
Так идея, в целом, верная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ага. Собственно, тройной интеграл тут нужен, чтобы от коэффициентов избавиться. Через якобиан. А дальше можно и однократным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 03:15 


05/10/10
152
provincialka, спасибо. Осталось с параллелепипедом и цилиндром разобраться.
Для параллелепипеда с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям с длинами $a$ по оси $X$, $b$ по оси $Y$ и $c$ по оси $Z$ в аналогичной ситуации так получится
$$
V=(a-|x_0|)(b-|y_0|)(c-|z_0|)?
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 03:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Хм... А задача-то какая? Если "аналогичная", то будет либо два параллелепипеда, либо два цилиндра...
А у вас что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 04:04 


05/10/10
152
provincialka, два параллелепипеда или два цилиндра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Anna from Svetl в сообщении #1075889 писал(а):
Для параллелепипеда с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям с длинами

Ну, не оба с центрами в начале координат? Наверное, у второго центр в $(x_0,y_0,z_0)$?
Тогда вроде верно.
Для цилиндров надо считать.

Заметьте, что достаточно посчитать площадь сечения, и высоту общей части, потом их перемножить.
Собственно, тут интегралы и не нужны, для сегмента круга площадь можно найти геометрически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем общей области двух эллипсоидов
Сообщение23.11.2015, 11:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
provincialka в сообщении #1075872 писал(а):
Собственно, тройной интеграл тут нужен, чтобы от коэффициентов избавиться.

И даже для этого не нужен: если растяжения проводятся по взаимно перпендикулярным осям, то объём изменяется соответственно просто по определению объёма.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group