Вопрос по поиску центра группы

[Orkimed]

Здравствуйте,решил задачу,сдал преподавателю,он подтвердил правильность,но у меня возник маленький вопрос.Вовремя решения не обратил на это внимание.
Есть две подстановки в $S_4$ $ \tau=(1234) , \sigma=(13) $.Я нашёл её подгруппу $H=\left\lbrace e , \sigma , \sigma^{2} , \sigma^{3} , \tau , \sigma^{2}\cdot\tau , \sigma\cdot\tau , \sigma^{3}\cdot\tau\right\rbrace$.$ $\left\lvert H \right\rvert$=8 $ .Порядок $Z(H)$ будет кратен 8 (2,4,8).У меня получилось $Z(H)=\left\lbrace e , \sigma^{2} \right\rbrace$
Порядок подгруппы является делителем 24, т.е 8,12,24.Вопрос такой,а почему среди этого ряда нет 2,4,6 ? Теорема Лагранжа

$$\left\lvert G \right\rvert =\left\lvert H \right\rvert\cdot\left\lvert G : H \right\rvert$$

Каргаполов стр.31 не накладывает никакие ограничения на множители.

[Sonic86]

Orkimed в сообщении #1075778 писал(а):

Порядок подгруппы является делителем 24, т.е 8,12,24.Вопрос такой,а почему среди этого ряда нет 2,4,6 ?

А почему Вы решили, что нет подгрупп этих мощностей? Они есть и очевидны. $\langle(12)\rangle$ - подгруппа мощности 2. Остальные варианты легко придумать самому.

[Brukvalub]

Orkimed в сообщении #1075778 писал(а):

Теорема Лагранжа

$$\left\lvert G \right\rvert =\left\lvert H \right\rvert\cdot\left\lvert G : H \right\rvert$$

Каргаполов стр.31 не накладывает никакие ограничения на множители.

Теорема Лагранжа дает только необходимое условие на порядок подгруппы, но не достаточное. Например, Силов доказал несколько достаточных условий, но далеко не всегда для каждого делителя порядка конечной группы имеется подгруппа порядка, равного этому делителю.