Операторы рождения/уничтожения в КТП

[ИгорЪ]

Классики утверждают, что записав интеграл Фурье для поля, например, Клейн-Гордоновского, наложив на коэффициенты $a(k)$ перестановочные соотношения и постулировав наличие фоковского вакуума откуда/куда эти коэффициенты-операторы будут рождать/уничтожать одинаковые частицы с разными импульсами $k$ - мы будем лицезреть объект, называющийся квантовым полем. Пусть поле свободное и значит точно решаемое т.е. его состояние это просто набор одинаковых частиц с разными импульсами=гармоник с разными "частотами". Теперь дурацкий вопрос. Когда мы просто раскладываем функцию в ряд или интеграл Фурье, мы ведь вычисляем эти коэффициенты, это конкретные цифры, разные для разных функций. Когда мы переходим к операторнозначной функции естественно считать эти коэффициенты операторами, нумеруемыми дискретной $a_n$ (ряд) или непрерывной $a(n)$(интеграл) переменной. Но почему они не отличаются по амплитуде? Например, есть в разложении ряд одной функции гармоника $n=3,a_3=8$, а у другой функции гармоника $n=3,a_3=9$. Функции разные коэффициенты разные. Почему это исчезает при квантовании и операторы одинаковые?

[Munin]

Оператор рождения не может родить волну с какой угодно амплитудой. Он должен родить волну со вполне определённой амплитудой. С какой? Чтобы энергия волны (например, проинтегрированная по ящику) была равна $h\nu=\hbar\omega$ - эту формулу ещё со школы помнят. Эти условия нормировки приводят к определённым коэффициентам для потенциалов и напряжённостей, выраженных через операторы рождения, приглядитесь в формулах.

Можно сделать бо́льшую амплитуду. Но для этого нужно загнать в поле не один квант, а два. То есть, осциллятор поднять не на первый уровень, а на второй. И так далее. У гармонического осциллятора каждая ступенька стоит одинаково $\hbar\omega.$ Так что, там прирост энергии такой же, ну а потенциала или напряжённости - соответственно. Правда, это относится только к бозонным полям, а в фермионных каждый осциллятор умеет содержать ровно один квант и не больше.

В итоге, амплитуду нельзя задать произвольно. Она может только квантоваться. Вот тут всплывает, что это квантовая теория. Прикольно, да?

Почему операторы одинаковые?.. Один оператор рождения - одновременно поднимает 0-ю ступеньку на 1-ю, 1-ю (если вначале была 1-я) - на 2-ю, 2-ю - на 3-ю, и так далее. То есть, тут один оператор отвечает за подъём всей "лестницы". Если бы мы писали отдельно по оператору подъёма на каждую ступеньку, то у нас была бы сумма таких операторов, каждый со своим коэффициентом... Это можно посмотреть в матричном виде оператора рождения (поднимающего оператора для осциллятора).

[Cos(x-pi/2)]

ИгорЪ в сообщении #1075640 писал(а):

Функции разные коэффициенты разные. Почему это исчезает при квантовании и операторы одинаковые?

Наверное, можно ещё и вот такими словами пояснить (а по сути так же, как выше пояснил Munin), почему у операторов "нет амплитуды".

Возьмём для примера обычную квантовую механику в координатном представлении для одной частицы. Там оператор импульса $-i\hbar\nabla$,"как ни странно", не зависит от самого вектора импульса частицы $\mathbf{p},$ который у частицы бывает самым разным и по величине и по направлению. Зато от $\mathbf{p}$ может зависеть вектор состояния частицы, например, плоская волна $|\mathbf{p}\rangle,$ а также - от вектора состояния зависит результат действия оператора импульса на вектор состояния (или на волновую функцию).

Аналогично и с операторами рождения-уничтожения: сами они не зависят, говоря классическим языком, от "амплитуды возбуждения" данной колебательной степени свободы (моды), потому что от возбуждения зависят квантовые состояния $|N\rangle$ моды, а также зависит результат действия операторов на вектор состояния:

$$a^+a \,|N\rangle = N\,|N\rangle.$$

Здесь множитель $N,$ имеющий смысл количества "квантов возбуждения" в состоянии $|N\rangle$, как раз аналогичен "квадрату амплитуды колебаний" данной степени свободы, если говорить классическим языком.

Т.е. классическая фурье-гармоника полевой переменной, как функция времени с конкретной амплитудой колебаний, аналогична, скорее, понятию "вектор состояния" моды. При переходе к квантованию в представлениии Шредингера мы не только заменяем её комплексные амплитуды $(a^*, a)$ операторами $(a^+, a),$ но ещё и полагаем $t=0,$ так как в представлении Шредингера эти операторы не должны зависеть от времени $t$. При этом от фурье-гармоники, как функции времени, ничего и не остаётся; остаётся только сопоставление операторов $(a^+, a),$ понятию "мода", а классическая картина колебаний полевой переменной во времени с определённой амплитудой и фазой теряет смысл. Это вполне подобно тому, как в обычной квантовой механике частицы теряет смысл понятие траектории частицы $\mathbf{r}(t),$ - действует "принцип неопределённости".

[ИгорЪ]

Спасибо за ответы. А вот перенормировка полевых функций не связана ли с изменением амплитуды операторов?

[Munin]

Нет. Перенормировка теории - это совсем другое явление.

[ИгорЪ]

Я знаю что такое перенормировка. При перенормировке обычно полевую функцию умножают на Z, я это имел ввиду.

[Munin]

Это в каком месте? Дайте ссылку.

[ИгорЪ]

Пескин глава 7 стр 215 и далее

[Munin]

Видимо, всего остального вы не прочитали. $Z$ - "перенормировка напряжённости поля" - это всего лишь часть перенормировки теории.

Перепутать их, конечно, можно, но лучше понимать их по отдельности. Сначала разобраться с нормировкой операторов - это элементарный вопрос - а потом уже изучать перенормировку теории.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #1091173 писал(а):

$Z$ - "перенормировка напряжённости поля" - это всего лишь часть перенормировки теории.

Да это ясно, но изначально вопрос об "амплитуде" операторов рождения и $Z$ очень похожа на нее.
Перенормировка напряженности поля и полевых операторов это одно и тоже. В любом случае операторы рождения тоже домножаются на$Z$ .

[Munin]

Почитайте, что такое перенормировка, немножко дальше.

[ИгорЪ]

Munin
Если есть что сказать - говорите. Константа Z связывает свободные и взаимодействующие операторы поля. Выглядит как амплитуда. Можно это так интерпретировать или нет я не знаю. Но обсудить, кажется, вполне интересно.

(Оффтоп)

Повторяю, я знаю концепцию перенормировок. Если я в чем то ошибаюсь просто укажите это место. Отеческое - читайте батенька, читайте - это оставьте для студентов.

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #1091330 писал(а):

Константа Z связывает свободные и взаимодействующие операторы поля. Выглядит как амплитуда. Можно это так интерпретировать или нет я не знаю.

Ну, Дирак где-то так и интерпретировал: "Гильбертова пространства недостаточно для описания всех состояний". Имелось в виду, и.м.х.о. "Выпадение векторов из гильбертова пространства" вследствие устремления к бесконечночти масшабного фактора при операторе поля.

[ИгорЪ]

Поищу, спасибо. Хотя первоначально $Z\leqslant1$, это потом перенормировки её "обесконечивают".

[Утундрий]

Возможно Маэстро ожидал некоего пополнения, которое позволило бы обращаться с этими незаконными векторами как с законными. Ну, вроде как добавление бесконечно удалённой прямой к евклидовой плоскости превращает её в менее удобопонятный, но зато в более эффективный объект.