Функции разные коэффициенты разные. Почему это исчезает при квантовании и операторы одинаковые?
Наверное, можно ещё и вот такими словами пояснить (а по сути так же, как выше пояснил
Munin), почему у операторов "нет амплитуды".
Возьмём для примера обычную квантовую механику в координатном представлении для одной частицы. Там оператор импульса

,"как ни странно", не зависит от самого вектора импульса частицы

который у частицы бывает самым разным и по величине и по направлению. Зато от

может зависеть
вектор состояния частицы, например, плоская волна

а также - от вектора состояния зависит результат действия оператора импульса на вектор состояния (или на волновую функцию).
Аналогично и с операторами рождения-уничтожения: сами они не зависят, говоря классическим языком, от "амплитуды возбуждения" данной колебательной степени свободы (моды), потому что от возбуждения зависят квантовые состояния

моды, а также зависит результат действия операторов на вектор состояния:
Здесь множитель

имеющий смысл количества "квантов возбуждения" в состоянии

, как раз аналогичен "квадрату амплитуды колебаний" данной степени свободы, если говорить классическим языком.
Т.е. классическая фурье-гармоника полевой переменной, как функция времени с конкретной амплитудой колебаний, аналогична, скорее, понятию "вектор состояния" моды. При переходе к квантованию в представлениии Шредингера мы не только заменяем её комплексные амплитуды

операторами

но ещё и полагаем

так как в представлении Шредингера эти операторы не должны зависеть от времени

. При этом от фурье-гармоники, как функции времени, ничего и не остаётся; остаётся только сопоставление операторов

понятию "мода", а классическая картина колебаний полевой переменной во времени с определённой амплитудой и фазой теряет смысл. Это вполне подобно тому, как в обычной квантовой механике частицы теряет смысл понятие траектории частицы

- действует "принцип неопределённости".