Инвариантность Эйлеровой характеристики.

[lim]

Всех приветствую! Недавно доказали, что для любого графа, лежащего на сфере Эйлерова характеристика этого графа равна 2.
А я думаю, что могу попробовать доказать это для $n$-мерной замкнутой поверхности.
1. Какие доказательства этого вы знаете?
2. Какие из них можно обобщить?
-- -- -- -- -- --
Мы доказывали это объединением 2-х произвольных графов и вырезанием куска поверхности... Вы знаете что-то такое?:) Оно прокатывает?

[Munin]

Попробуйте :-)

(не подглядывать)

(Вас ждёт облом, и много интересного. Подсказка: ограничьтесь $n$-мерными сферами.)

Ещё могу предложить посчитать эйлерову характеристику графа, лежащего на торе. И на плоскости.

(ну не подглядывать же!)

И наконец, наиболее широкие обобщения можно найти в Википедии.

[g______d]

lim в сообщении #1074436 писал(а):

А я думаю, что могу попробовать доказать это для $n$-мерной замкнутой поверхности.

А что такое планарный граф, лежащий на поверхности размерности выше трех? Обобщение есть, но оно существенно более тонкое.

Если говорить о графах, то любой граф можно вложить в трехмерное пространство без самопересечений и так, чтобы все ребра были прямыми.

[Munin]

Ну так как-то же он собирается его эйлерову характеристику считать :-) Значит, должен ввести аккуратно и грани и их многомерные аналоги :-)

[lim]

Можно посмотреть наглядную топологию Болтянского... Он доказывает это для произвольной поверхности, а википедия говорит, что поверхность двумерна по определнию... Так возможно ли это вообще доказать для $n$?

[Munin]

lim в сообщении #1075014 писал(а):

Он доказывает это для произвольной поверхности

И чего именно он доказывает для произвольной поверхности?

Чему равна эйлерова характеристика графа, нарисованного на ленте Мёбиуса?

[lim]

Munin в сообщении #1075035 писал(а):

И чего именно он доказывает для произвольной поверхности?

Вот формулировка: Для любой замкнутой поверхности $Q$ её эйлерова характеристика $\chi(Q)$ не зависит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью, является её топологическим инвариантом.

[Munin]

Вам не кажется, что называть это "это" было неуместно? С утверждением в первом посте оно имеет мало общего.

Такое утверждение можно доказать и для $n$-мерного многообразия, и даже более сильные и сложные утверждения: ключевые слова "числа Бетти", "группы гомологий", "группы гомотопий".

[lim]

Ясно, спасибо.