2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение17.11.2015, 23:57 
Всех приветствую! Недавно доказали, что для любого графа, лежащего на сфере Эйлерова характеристика этого графа равна 2.
А я думаю, что могу попробовать доказать это для $n$-мерной замкнутой поверхности.
1. Какие доказательства этого вы знаете?
2. Какие из них можно обобщить?
-- -- -- -- -- --
Мы доказывали это объединением 2-х произвольных графов и вырезанием куска поверхности... Вы знаете что-то такое?:) Оно прокатывает?

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение18.11.2015, 00:45 
Аватара пользователя
Попробуйте :-)

(не подглядывать)

(Вас ждёт облом, и много интересного. Подсказка: ограничьтесь $n$-мерными сферами.)


Ещё могу предложить посчитать эйлерову характеристику графа, лежащего на торе. И на плоскости.

(ну не подглядывать же!)

И наконец, наиболее широкие обобщения можно найти в Википедии.

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение18.11.2015, 01:05 
Аватара пользователя
lim в сообщении #1074436 писал(а):
А я думаю, что могу попробовать доказать это для $n$-мерной замкнутой поверхности.


А что такое планарный граф, лежащий на поверхности размерности выше трех? Обобщение есть, но оно существенно более тонкое.

Если говорить о графах, то любой граф можно вложить в трехмерное пространство без самопересечений и так, чтобы все ребра были прямыми.

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение18.11.2015, 01:44 
Аватара пользователя
Ну так как-то же он собирается его эйлерову характеристику считать :-) Значит, должен ввести аккуратно и грани и их многомерные аналоги :-)

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение19.11.2015, 23:29 
Можно посмотреть наглядную топологию Болтянского... Он доказывает это для произвольной поверхности, а википедия говорит, что поверхность двумерна по определнию... Так возможно ли это вообще доказать для $n$?

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение20.11.2015, 01:07 
Аватара пользователя
lim в сообщении #1075014 писал(а):
Он доказывает это для произвольной поверхности

И чего именно он доказывает для произвольной поверхности?

Чему равна эйлерова характеристика графа, нарисованного на ленте Мёбиуса?

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение21.11.2015, 19:06 
Munin в сообщении #1075035 писал(а):
И чего именно он доказывает для произвольной поверхности?

Вот формулировка: Для любой замкнутой поверхности $Q$ её эйлерова характеристика $\chi(Q)$ не зависит от выбора разбиения на многоугольники, а определяется самой поверхностью, является её топологическим инвариантом.

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение21.11.2015, 19:16 
Аватара пользователя
Вам не кажется, что называть это "это" было неуместно? С утверждением в первом посте оно имеет мало общего.

Такое утверждение можно доказать и для $n$-мерного многообразия, и даже более сильные и сложные утверждения: ключевые слова "числа Бетти", "группы гомологий", "группы гомотопий".

 
 
 
 Re: Инвариантность Эйлеровой характеристики.
Сообщение21.11.2015, 22:08 
Ясно, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group