О теореме Пифагора

[Octagon]

A_Nikolaev в сообщении #1075040 писал(а):

Ценно! Спасибо! А что это за книга?

Гладун А.Д., Александров Д.А., Игошин Ф.Ф., Коротков П.Ф., Корявов В.П, Овчинников А.П., Самарский Ю.А., Теврюков А.А., Фрейберг Г.Н. Лабораторный практикум по общей физике. Том 1. Механика. (Год издания: 2004)

[TR63]

Octagon в сообщении #1074864 писал(а):

В моем лабнике было нечто такое:

Изображение

Изображение не отображается.

grizzly в сообщении #1075117 писал(а):

Вы бы скорее нарисовали циркулем и линейкой сотни разноугольных треугольников с целочисленными сторонами и до помрачения рассудка искали бы закономерность

Искать закономерность надо в последовательности, уже имеющей какое-нибудь общее свойство с учётом области определения и заданных операций. Какое общее свойство могут иметь разносторонние треугольники с целочисленными сторонами (разве что сумма двух сторон больше третьей. Но не все косинусы попадают в область определения). Потом, исходя из анализа таблицы, можно строить гипотезу о наличии закономерности.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1075237 писал(а):

Искать закономерность надо в последовательности, уже имеющей какое-нибудь общее свойство с учётом области определения и заданных операций.

Я говорил не просто о поиске закономерности, а о поиске нового знания. В этом контексте Ваши советы напоминают доведенный до абсурда аналог антропологического принципа (может это можно выразить одним словом, что-то не соображу).

[longstreet]

Теорема Пифагора относится только к прямоугольным треугольникам. Помедитируйте над тем, чем же они отличаются от остальных. А там, глядишь, и до доказательства дотянете.

[TR63]

grizzly в сообщении #1075263 писал(а):

Я говорил не просто о поиске закономерности, а о поиске нового знания.

Я говорила не просто о поиске закономерности, а о поиске новой закономерности (гипотетической). Далее предложила рассмотреть какой-нибудь ряд задач, составить для них таблицы, как для "свойства Пифагора", посмотреть, для каких таблиц гипотезы являются теоремами (т.е. их можно доказать). Можно будет увидеть закономерность и выдвинуть общую гипотезу. Я этим методом часто пользуюсь при предварительном (гипотетическом) решении задач в Олимпиадном разделе. Осечек не было. Можете считать это бредом, абсурдом. Но это реально работает на уровне гипотезы. (Помнится Вы тоже похожим методом решали неравенство и предложили решить его стандартным методом).

-- 21.11.2015, 01:08 --

Я в этой теме подробно не описала, как составлять таблицу. Но я об этом писала в другой моей теме. Хотя это настолько просто, что я не понимаю, в чём может быть проблема.

[grizzly]

TR63 в сообщении #1075299 писал(а):

Можете считать это бредом, абсурдом.

Нет, зачем же. Я просто буду считать, что мы по-разному понимаем задачу ТС. При этом наши с Вами понимания почти совпадают, если смотреть с перспективы бесконечно удалённого понимания longstreet :)

[longstreet]

grizzly, задачу ТС я понял так, как он её описал в стартовом посте.

-- 21.11.2015, 00:38 --

С прямоугольным треугольником можно кое-что сделать такое, чего нельзя сделать с непрямоугольным треугольником. Если допетрить, что именно, то дальше -- дело техники. Эйнштейн, вроде как говорят, что допетрил.

[A_Nikolaev]

grizzly в сообщении #1075117 писал(а):

При прочих равных я бы сделал ставку на "синтаксический" метод (уже в 13 лет школьник способен на неслабые дедуктивные открытия в геометрии, до которых он никогда бы не додумался методом наблюдений).

Если Вам не трудно, приведите, пожалуйста, простенький пример использования "синтаксического" метода. Я не уловил, о чем здесь идёт речь.

grizzly в сообщении #1075117 писал(а):

С какой стати Вам вообще бы пришёл в голову вопрос искать закономерность именно для различных прямоугольных треугольников? У Вас же нет бесконечного потока задач на разделить справедливо и просто земельные участки.

Об этом не думал.

Сейчас я бы догадался зафиксировать один угол и сторону. Про школьника не знаю.

Какой бы я выбрал угол? Скорее всего, прямой, ведь он особенный: когда под этим углом пересекаются две прямые, получается красивый, симметричный крест. Добавим ещё прямую -- получим прямоугольный треугольник.

Хотя, возможно, я начал бы с красивого, симметричного, равностороннего треугольника и зафиксировал бы шестидесятиградусный угол. Тогда закономерность стала бы более сложной:

$$c^2 = a^2 - ab + b^2,$$

а с учётом фиксации стороны:

$$c^2 = a^2 - a + 1.$$

Здесь $c$ -- это сторона, лежащая против угла в $60^{\circ}.$

***

TR63 в сообщении #1075299 писал(а):

Я в этой теме подробно не описала, как составлять таблицу. Но я об этом писала в другой моей теме.

А что это за тема?

***

Octagon, спасибо!

[Skeptic]

Теорема Пифагора не геометрическая теорема, это мы её так доказываем, а алгебраическая. Пифагорейцы исследовали числа. Рассматривая последовательность квадратов натуральных чисел, заметили, что сумма двух квадратов некоторых чисел может равняться квадрату числа. Первая такая тройка чисел находится в начале последовательности натуральных чисел (числа 3,4,5). А числа 3,4,5 - это длины сторон египетского прямоугольного треугольника. Вот и переход к геометрическому доказательству. Такой же анализ последовательности кубов чисел привёл к великой теореме Ферма.

[atlakatl]

Skeptic в сообщении #1075387 писал(а):

Теорема Пифагора не геометрическая теорема, это мы её так доказываем, а алгебраическая

Сформулируйте её "алгебраически", пож-ста.
Вы смешиваете целочисленные тройки и стороны треугольника, - которые чаще всего вообще иррациональные, но прекрасно оформляются теоремой Пифагора.

[A_Nikolaev]

grizzly в сообщении #1075309 писал(а):

Я просто буду считать, что мы по-разному понимаем задачу ТС.

В задачу я не вкладывал какого-то глубокого смысла.

Изменяем длину катетов, измеряем гипотенузу. На что теперь обратить внимание? Как смотреть на эти сырые данные, как их фильтровать, как их упорядочивать, чтобы прийти к открытию закономерности?

Ещё до измерений легко догадаться о коммутативности: $c = f(a, b) = f(b, a)$, и о том, что $f(a, 0) = a$.

Если сфокусироваться на красивых, целых числах и ограничиться 15-сантиметровыми катетами, то табличка будет такой:

$$\begin{tabular}{rr|r} $a$ & $b$ & $c$ \\ \hline $3$ & $4$ & $5$ \\ $4$ & $3$ & $5$ \\ $5$ & $12$ & $13$ \\ $6$ & $8$ & $10$ \\ $8$ & $6$ & $10$ \\ $8$ & $15$ & $17$ \\ $9$ & $12$ & $15$ \\ $12$ & $5$ & $13$ \\ $12$ & $9$ & $15$ \\ $15$ & $8$ & $17$ \end{tabular}$$

Если переупорядочить по самой длинной стороне, то получится так:

$$\begin{tabular}{r|rr} $c$ & $a$ & $b$ \\ \hline $5$ & $3$ & $4$ \\ $5$ & $4$ & $3$ \\ $10$ & $6$ & $8$ \\ $10$ & $8$ & $6$ \\ $13$ & $5$ & $12$ \\ $13$ & $12$ & $5$ \\ $15$ & $9$ & $12$ \\ $15$ & $12$ & $9$ \\ $17$ & $8$ & $15$ \\ $17$ & $15$ & $8$ \end{tabular}$$

А дальше "школьнику" (т.е мне) всё-таки нужно угадывать.

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1075377 писал(а):

Если Вам не трудно, приведите, пожалуйста, простенький пример использования "синтаксического" метода.

Я говорю о последовательном выводе новых утверждений из уже известных ранее. Вы же не ищете новое знание на пустом месте, как только Вам кто-то сказал, что существуют треугольники? Да хоть бы и так, почти наверняка Вы откроете свойства подобных треугольников раньше. Как только Вы догадаетесь провести высоту из прямого угла одного-единственного треугольника, у Вас тут же появится всё необходимое для формулировки гипотезы. И останется провести простое рассуждение в два хода (построить пропорции и манипулировать ими алгебраически или геометрически, неважно). Сегодня такой ход развития событий на много порядков более вероятен простого анализа рисунков.

Вот этот алгебраический подход даёт Вам огромную фору перед Евклидом, который не мог его себе позволить в силу методического ограничения. Евклид, в свою очередь, имел фору перед древними учёными, у которых не было аксиоматического метода -- они вынуждены были таскать с собой мешки практического опыта и всякий раз рыться в них в поисках подходящего опыта.

[A_Nikolaev]

grizzly в сообщении #1075400 писал(а):

почти наверняка Вы откроете свойства подобных треугольников раньше. Как только Вы догадаетесь провести высоту из прямого угла одного-единственного треугольника, у Вас тут же появится всё необходимое для формулировки гипотезы.

Понятно. Но для этого нужен навык геометрического мышления, нужна геометрическая культура.

Интересно, если перед реальными школьниками поставить задачу нахождения этого соотношения, то сколько процентов из них пошли бы геометрическим путём?

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1075405 писал(а):

Понятно. Но для этого нужен навык геометрического мышления, нужна геометрическая культура.

Вот мы, похоже, и пришли к полному взаимопониманию. Это было о том же:

grizzly в сообщении #1075117 писал(а):

первое, на что нужно обратить внимание -- на имеющийся в Вашем наличии багаж методов и степень владения ими. Остальное -- дело техники / везения.

A_Nikolaev в сообщении #1075405 писал(а):

Интересно, если перед реальными школьниками поставить задачу нахождения этого соотношения, то сколько процентов из них пошли бы геометрическим путём?

Зависит прежде всего от культурной среды и от способа постановки задачи. Сейчас вариантов масса. Исторически же вариантов было 1-2 не более.

[A_Nikolaev]

Для меня привычнее вглядываться в числа. Это первое, что в голову приходит: измерить, составить табличку, нарисовать график, подобрать формулу.

В древности, вероятно, геометрический метод был более естественным. Однако доказательство Евклида и доказательство, о котором говорил ET, подбиралось, на мой взгляд, под уже сформулированную гипотезу.

По моим ощущениям, в этой и не только в этой задаче метод "измерить-табулировать-угадать" является более естественным для формулирования гипотезы с нуля. Геометрический метод кажется слишком свободным: можно и так линию провести и этак, и в окружность вписать, и прямоугольник с квадратом дорисовать... Чего только нельзя сделать! Метод "измерить-табулировать-угадать" более жёсткий. Понимаете, о чём я говорю?

Но геометрической культуры у меня нет.