Доказательство теоремы Ферма от Starika

[Starik]

Опишем переменные:
$a, b, c$ – целые положительные числа $>0$, которые должны отвечать равенству $a^3-b^3=c^3$
$a, b, c$ – не имеют общих делителей
$d$ - целое положительное число $>0$
$d=b+c-a$
$c=(a-b)+d$
$b=(a-c)+d$
$d=6^u y$ , где $y$ – целое положительное число $>0$
$u$ – целое положительное число $> 0$

Доказательство, что $d=6^u y$
Введем временные переменные $v_1 v_2$ и присвоим им значение
$ v_1=a^3-b^3-(a-b)^3$
$ v_2=c^3-d^3-(a-b)^3$
$d^3=v_1-v_2$
$v_1$ кратно $6$, т.к. $a^3-b^3-(a-b)^3=3ab(a-b)$
$v_2$ также кратно $6$, т.к. используя $(a-b)=(c-d)$ в выражении
$ v_2=c^3-d^3-(a-b)^3$
получим
$c^3-d^3-(c-d)^3=3cd(a-b)$
Поэтому и $d^3=v_1-v_2$ кратно $6$

Разложим выражение $a^3-b^3$ на сумму трех чисел
$a^3-b^3=P+R+T$, где

$P=(a-b)^3$

$R=c^3-d^3-(a-b)^3$

$T=d^3$

Проанализируем, какие известные сомножители участвуют в формировании этих чисел, в первую очередь сомножителя $6$.

$T=d^3=6^{3u} \cdot y^3 $
$T$ содержит сомножители $6^{3u}$

Частный пример, при $u=1$
$T=6 \cdot \frac{b+c}{2} (a-b)(a-c)=216(a-b)(a-c) $ или, что равнозначно,
$T=6 \cdot \frac{a+d}{2} \cdot(a-b) \cdot(a-c) =216 (a-b) (a-c)$
Сомножители $(a-b)$ и $(a-c)$ равны полным кубам целых положительных чисел. Проблем с формированием полного куба $d^3$ не возникает, если $6\cdot \frac{a+d}{2}=216$
Из чего следует вывод $a$ кратно $6$.

Анализируем слагаемое $R$
$R=6 \frac{a-b+d}{2}(a-b) \cdot d$ или, что равнозначно

$ R=6 \frac{c+0}{2} (a-b) \cdot d$, где $d=6^u y$

$ R=6^{u+1} \cdot y \frac{c}{2}(a-b)$

В итоге делаем вывод, что $R$ содержит сомножители $6^{u+1}$

Исключаем случай, если $c$ кратно $6$, при котором
$R=6 \frac{c+0}{2}(a-b) \cdotd$ будет содержать сомножители $6^{3u}$ по причине, что $a$ и $c$ не могут содержать общие делители.

В случае разложения $a^3-b^3=P+R+T$ сумма чисел $R+T$, делится на $6^{u+1}$ без остатка.

Проанализируем разложение на сомножители $c^3-(a-b)^3$ или $c^3-P$ , это число содержит сомножители $6^u$ , т.к. кратно $d$
$\frac{c^3-(a-b)^3}{c-(a-b)}=\frac{c^3-(a-b)^3}{d}=1+6x$ , где $x$ целое положительное число $>0$

И так наше целевое равенство $a^3-b^3=c^3$, отняв одно и то же число в левой и правой части и получив
$a^3-b^3-(a-b)^3\ne c^3-(a-b)^3$
Убеждаемся что, получение полного куба числа $c^3$ из разницы $a^3-b^3 $ невозможно по причине, того, что левая часть последнего уравнения всегда содержит сомножители $6^{u+1}$, а правая $6^u$.
Следовательно, $a^3-b^3\ne c^3$

[Mihr]

Заголовок вводит в заблуждение.

[krestovski]

А на мой взгляд ещё раз доказано одно из основных правил арифметики: если к левой и правой части неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не меняется.
К тому же, ещё и показано, - почему не меняется.

[lasta]

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

Доказательство, что $d=6^u y$

Уважаемый Starik!
Это известно и имеет простое доказательство. Сразу видно, что выражение $d=c-a+d$, четно, а с учетом $a^3-b^3=c^3$ сумма остатков при делении на 3 указанного выражения равна 0.

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

Сомножители $(a-b)$ и $(a-c)$ равны полным кубам целых положительных чисел. Проблем с формированием полного куба $d^3$ не возникает, если $6\cdot \frac{a+d}{2}=216$
Из чего следует вывод $a$ кратно $6$.

не возникает, если ни одна из указанных разностей $(a-b)$ и $(a-c)$ не делится на 3, что не доказано.

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

В итоге делаем вывод, что $R$ содержит сомножители $6^{u+1}$

Требует пояснения. Дальнейшее алгебраическое доказательство лишено смысла. Равно так равно по предположению наличия решения УФ.

[krestovski]

А давайте откровенно?
Ведь Ферма утверждал, что

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

$a^3-b^3=/=c^3$

- невозможно разложить куб на два куба... биквадрат на два биквадрата....

Но я читаю в "доказательстве" следующее

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

И так наше целевое равенство $a^3-b^3=c^3$, отняв одно и то же число в левой и правой части и получив
$a^3-b^3-(a-b)^3\ne c^3-(a-b)^3$

и понимаю, что это уже не кубическое равенство. - Или это только я понимаю?
Ведь в правой части уже не куб. И в левой части уже не разность двух кубов. И дальнейшие рассуждения уже относятся не к кубическому равенству, а к кубическому равенству с равными вычетами.
Ау!!! - Тут хоть кто-то заканчивал нормальную общеобразовательную советскую школу??? - Ну хотя бы на тройку в аттестате зрелости....

[alexo2]

krestovski в сообщении #1075017 писал(а):

Ау!!! - Тут хоть кто-то заканчивал нормальную общеобразовательную советскую школу???

(Оффтоп)

Starik, в частности, заканчивал,.. если что (результат виден).. А вы с какой целью интересуетесь? ..

[Starik]

krestovski в сообщении #1074869 писал(а):

А на мой взгляд ещё раз доказано одно из основных правил арифметики: если к левой и правой части неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не меняется.
К тому же, ещё и показано, - почему не меняется.

Абсолютно точно подметили основной смысл Доказательства. Спасибо.

-- 20.11.2015, 13:38 --

lasta в сообщении #1074871 писал(а):

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

Доказательство, что $d=6^u y$

Уважаемый Starik!
Это известно и имеет простое доказательство. Сразу видно, что выражение $d=c-a+d$, четно, а с учетом $a^3-b^3=c^3$ сумма остатков при делении на 3 указанного выражения равна 0.

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

Сомножители $(a-b)$ и $(a-c)$ равны полным кубам целых положительных чисел. Проблем с формированием полного куба $d^3$ не возникает, если $6\cdot \frac{a+d}{2}=216$
Из чего следует вывод $a$ кратно $6$.

не возникает, если ни одна из указанных разностей $(a-b)$ и $(a-c)$ не делится на 3, что не доказано.

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

В итоге делаем вывод, что $R$ содержит сомножители $6^{u+1}$

Требует пояснения. Дальнейшее алгебраическое доказательство лишено смысла. Равно так равно по предположению наличия решения УФ.

1. Если Вам так проще, ради бога. Главное, что мы пришли к выводу, что $d$ кратно $6$. А это ключевой момент.

2. Пример частный, готов его спрятать, для доказательства не принципиален. За счет каких (из четырех) сомножителей мы сформируем куб числа $d$. Главное, такая возможность есть. Иначе уже в этом пункте можно было констатировать "теорема доказана".

3. Два числа имеют одинаковые сомножители, но разное их количество. Сумма этих чисел делится на наименьшее из них.
$T+R=6^{3u}y^3 + 6^{u+1}y\frac{c}{2}(a-b)=6^{u+1}y(6^{2u-1}y^2+\frac{c}{2}(a-b))$

[lasta]

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

$ R=6 \frac{c+0}{2} (a-b) \cdotd$, где $d=6^u y$

Уважаемый Starik!
Не понятно, где здесь d?

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

$ R=6^{u+1} \cdot y \frac{c}{2}(a-b)$

Поэтому я и просил пояснить откуда взялся показатель у 6?

[Starik]

lasta в сообщении #1075201 писал(а):

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

$ R=6 \frac{c+0}{2} (a-b) \cdotd$, где $d=6^u y$

Уважаемый Starik!
Не понятно, где здесь d?

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

$ R=6^{u+1} \cdot y \frac{c}{2}(a-b)$

Поэтому я и просил пояснить откуда взялся показатель у 6?

Опечатка при написании формулы перед d не поставил пробел.
Должно быть:
Анализируем слагаемое $R$
$R=6 \frac{a-b+d}{2}(a-b) \cdot d$ или, что равнозначно

$ R=6 \frac{c+0}{2} (a-b) \cdot d$, где $d=6^u y$

$ R=6^{u+1} \cdot y \frac{c}{2}(a-b)$

В итоге делаем вывод, что $R$ содержит сомножители $6^{u+1}$

[krestovski]

А на мой взгляд вот после этого можно было и закончить:

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

Введем временные переменные $v_1 v_2$ и присвоим им значение
$ v_1=a^3-b^3-(a-b)^3$
$ v_2=c^3-d^3-(a-b)^3$
$d^3=v_1-v_2$

Ведь неспроста отсутствует само определение разности. Во втором выражении есть вычет $-d^3$ , который меняет знак на + после $d^3=v_1-v_2$. В итоге получаем $d^3=d^3$. Так о чём там дальнейшие рассуждения и расчёты? С данного места всё кроме $d^3=d^3$ обнулено...

$d^3=v_1-v_2=a^3-b^3-(a-b)^3-c^3+d^3+(a-b)^3$, откуда ясно, что $a^3-b^3-(a-b)^3-c^3+(a-b)^3=0$.

Фантазии...фантазии..фантазии...

[Karan]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Тема перенесена по просьбе автора для исправлений.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»
Тема возвращена

[Starik]

krestovski в сообщении #1075222 писал(а):

А на мой взгляд вот после этого можно было и закончить:

Starik в сообщении #1074814 писал(а):

Введем временные переменные $v_1 v_2$ и присвоим им значение
$ v_1=a^3-b^3-(a-b)^3$
$ v_2=c^3-d^3-(a-b)^3$
$d^3=v_1-v_2$

Ведь неспроста отсутствует само определение разности. Во втором выражении есть вычет $-d^3$ , который меняет знак на $+$ после $d^3=v_1-v_2$. В итоге получаем $d^3=d^3$. Так о чём там дальнейшие рассуждения и расчёты? С данного места всё кроме $d^3=d^3$ обнулено...

$d^3=v_1-v_2=a^3-b^3-(a-b)^3-c^3+d^3+(a-b)^3$, откуда ясно, что $a^3-b^3-(a-b)^3-c^3+(a-b)^3=0$.

Фантазии...фантазии..фантазии...

Фрагмент, выбранный Вами для анализа, несет на себе нагрузку показать, что $d^3$ кратно $6$. И не более.
$v_1$ кратно $6$
$v_2$ кратно $6$
Разница между ними кратна $6$. По-моему очевидно.

[krestovski]

Starik в сообщении #1075236 писал(а):

Разница между ними кратна $6$. По-моему очевидно.

Для меня слово "очевидно" является синонимом слова возможно. Не более. Но полная цепочка преобразований предпочтительнее. И тогда можно без слов...

[Lia]

Starik
Вы доказываете от противного? То есть Ваше исходное предположение: пусть существует набор положительных $a,b,c$ таких, что $a^3-b^3=c^3$? и потом Вы рассчитываете прийти к противоречию?