О теореме Пифагора

[A_Nikolaev]

ET
Вероятно, я не сразу уловил Вашу мысль. Да, если вопрос о соотношении сторон прямоугольного треугольника уже поставлен практикой, то целенаправленная игра с треугольничками может привести к открытию закономерности геометрическим методом. Не знаю, насколько это проще угадывания путём разглядывания таблицы с пифагоровыми тройками, но мысль ценная.

[TR63]

Skeptic в сообщении #1074779 писал(а):

Мне кажется, что египетский треугольник возник после умения строить прямой угол

Ваше замечание имеет отношение к свойству задействованных операций. С точки зрения геометрии их две: циркуль и линейка. С точки зрения арифметики тоже две. Сложение и умножение. (Возведение в квадрат в области рациональных чисел можно рассматривать как умножение.) Возникает вопрос, в какой области определения проще всего рассматривать задачу по построению гипотезы. Отсюда подзадача: когда возможны построения катетов треугольника заданной длины циркулем и линейкой.

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1074762 писал(а):

Ну, древние гении не были такими уж бескультурными, они тоже умели составлять таблички.

Табличка табличке рознь. Многие дети в 8 лет самостоятельно замечают закон коммутативности умножения, при этом весьма сомнительно, что хоть один из них заметил этот закон, анализируя табличку умножения на задней обложке. Дети замечают эту закономерность на отдельных примерах. (Любопытно, что ещё в 7 лет дети обычно эту закономерность самостоятельно не замечают. А коммутативность сложения замечают!)

Я думаю, что Вы поняли бы меня лучше, если бы попытались представить Архимеда, сидящего перед ванной и аккуратно заполняющего табличку с названием "Эврика!" результатами отдельных экспериментов.

A_Nikolaev в сообщении #1074762 писал(а):

Наоборот, я хотел в истории найти подсказку для того, чтобы сделать покороче дистанцию от опытных данных до закономерности, дистанцию, которая преодолевается случайным прыжком-догадкой. (А-ля загадка зарождения жизни.)

Я понял Вас. Я же хотел сказать, что подсказку Вы потеряли в тёмном лесу, а ищете под ближайшим фонарём, потому что там светлее (имхо, конечно).

A_Nikolaev в сообщении #1074762 писал(а):

Мне кажется, что это аргумент за [знание теоремы], потому что измерением трудно найти пифагоровы тройки из Plimpton 322.

Ну или правы те исследователи, которые полагают данные этой таблички результатом постановки / решения алгебраических, а не геометрических задач.

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1074805 писал(а):

при этом весьма сомнительно, что хоть один из них заметил этот закон, анализируя табличку умножения на задней обложке

Сейчас, вроде бы, в основном печатают не табличку (я её помню только в своих самых древних тетрадях), а набор примеров $n\times m = p,\;1<n\leqslant m<10$. Не знаю, какой толк в этом — даже экономии чернил и места (для «метрической системы мер», ага) не просматривается (или им кажется, что у таблицы сложная вёрстка?). В таком виде действительно коммутативности не пролезть. А вот в классической таблице разве трудно заметить симметрию?

[Skeptic]

TR63 в сообщении #1074786 писал(а):

Skeptic в сообщении #1074779 писал(а):

Мне кажется, что египетский треугольник возник после умения строить прямой угол

Ваше замечание имеет отношение к свойству задействованных операций. С точки зрения геометрии их две: циркуль и линейка. С точки зрения арифметики тоже две. Сложение и умножение. (Возведение в квадрат в области рациональных чисел можно рассматривать как умножение.) Возникает вопрос, в какой области определения проще всего рассматривать задачу по построению гипотезы. Отсюда подзадача: когда возможны построения катетов треугольника заданной длины циркулем и линейкой.

Это сегодня мы говорим с точки зрения геометрии.
Для построения прямого угла на местности достаточно отрезка верёвки. Сначала от начала луча под произвольным углом растягиваем верёвку. Удерживая свободный конец верёвки, другим концом дотягиваемся до луча, и делаем на нём отметку. Затем поворачиваем верёвку вокруг точки крепления до совпадения с направлением на полученную отметку, и получает третий угол прямоугольного треугольника. Здесь нет геометрического циркуля и линейки, нет единицы длины, нет даже арифметики, и длина верёвки не имеет значения. Со стороны это смотрится как тайное знание: три положения верёвки, и прямой угол построен. Длина появляется позже, при измерении полученных линий.

[Munin]

Skeptic в сообщении #1074859 писал(а):

Здесь нет геометрического циркуля и линейки,

В неявном виде - есть.

[Octagon]

В моем лабнике было нечто такое:



К сожалению, предпосылка к гипотезе ну никак не математическая, да.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1074851 писал(а):

А вот в классической таблице разве трудно заметить симметрию?

Да кто же говорит, что трудно? Это не намного сложнее, чем понять, что от переливания воды из широкого стакана в узкий её не становится больше. Но у этого опыта своё возрастное ограничение.

Как только ограничения возрастной психологии снимаются, так сразу становится легко (в 9-10 лет у среднего ученика шансов больше, чем у толкового в 8). А в 8 лет ребёнку проще эту симметрию при решении отдельных примеров заметить.
(Данный фактаж я беру из параллельного общения с опытным и хорошим учителем младших классов, не сам выдумываю -- но и не из книжек, увы.)

А вот чтоб додуматься самому составить табличку из данных для последующего поиска закономерности нужно, чтобы мозг был готов к структурированию информации. А эта способность формируется начиная с 11 лет до 14. В 12--13 лет уже можно начинать передавать культурные наработки.

Я про всё это говорю потому, что нам должно быть проще представить сегодня ребёнка, не умеющего самостоятельно догадаться структурировать данные для последующего анализа, чем подумать, что когда-то этого метода могло не быть в культуре вообще. Грубо говоря, даже на Галилея косо смотрели, когда он заполнял свои "пизанские" таблички -- такой метод всё ещё не был общепринятым. (Если быть точнее, то в случае с Галилеем ситуация немного другая -- там речь шла о проверке теории с целью подтверждения или фальсификации, это чуть сложнее.)

[Skeptic]

Munin в сообщении #1074860 писал(а):

Skeptic в сообщении #1074859 писал(а):

Здесь нет геометрического циркуля и линейки,

В неявном виде - есть.

Это для нас, знающих геометрию, а не древних египтян. На рисунках в египетских пирамидах и папирусах циркуля и линейки нет.

[arseniiv]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1074867 писал(а):

Но у этого опыта своё возрастное ограничение.

Согласен. Но, хотя у меня нет данных, кажется, что 8 лет для него — многовато. Ну, по крайней мере, если узнать о числах пораньше, чем в первом классе.

[grizzly]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1074916 писал(а):

кажется, что 8 лет для него — многовато

Так ведь я тоже настаивать не буду -- в моих аргументах важен сам принцип, а не конкретный возраст. Впрочем, и аргументами это всё не является -- аналогия, не более.

[TR63]

A_Nikolaev в сообщении #1074471 писал(а):

Существует ли поворот и направление мысли, которые помогут школьнику постепенно приблизиться к верной формулировке?

Итак, мы имеем гипотезу о том, что существует неограниченное количество прямоугольных треугольников, обладающих "свойством Пифагора". И возник вопрос, существуют ли прямоугольные треугольники, не обладающие этим свойством.
Если и далее использовать метод "таблиц для анализа", то надо привлечь к рассмотрению постулат Лежандра, который является эквивалентом пятого постулата. Т.е. рассмотреть последовательность прямоугольных треугольников, у которых один катет длины n располагается на стороне острого угла, а второй катет должен пересечь вторую сторону острого угла. Все треугольники имеют общую точку, совпадающую с началом острого угла. Как известно, далее начинаются дебри. Т.е., возможно, и не существует какого-то прямоугольного треугольника, имеющего катет длины n. И о каком "свойстве Пифагора" тогда говорить. Я думаю, что школьникам далее лучше рассматривать пока геометрическое доказательство обнаруженного свойства.

[A_Nikolaev]

Octagon в сообщении #1074864 писал(а):

В моем лабнике было нечто такое...

Ценно! Спасибо! А что это за книга?

***

grizzly
Поясню свою мотивацию. Я хотел понять, как бы я смог открыть теорему Пифагора самостоятельно, если бы ещё её не знал. Поэтому я попытался представить себя школьником, который измеряет треугольнички и прочее. Первоначально мне не были интересны педагогические вопросы. Интересно стало только во время беседы. Поэтому мой "школьник" ненастоящий. А к истории я обратился за подсказкой.

О коммутативности: на мой взгляд, пересчитывая камушки, заметить её очень просто. Теорема Пифагора интереснее, она не так очевидна.

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1075040 писал(а):

Поясню свою мотивацию. Я хотел понять, как бы я смог открыть теорему Пифагора самостоятельно, если бы ещё её не знал.

Мотивация понятна и естественна. И с моего угла зрения первое, на что нужно обратить внимание -- на имеющийся в Вашем наличии багаж методов и степень владения ими. Остальное -- дело техники / везения.

При прочих равных я бы сделал ставку на "синтаксический" метод (уже в 13 лет школьник способен на неслабые дедуктивные открытия в геометрии, до которых он никогда бы не додумался методом наблюдений).
Измерения!? С какой стати Вам вообще бы пришёл в голову вопрос искать закономерность именно для различных прямоугольных треугольников? У Вас же нет бесконечного потока задач на разделить справедливо и просто земельные участки. Да Вы бы скорее нарисовали циркулем и линейкой сотни разноугольных треугольников с целочисленными сторонами и до помрачения рассудка искали бы закономерность типа теоремы косинусов в общем виде.

(Оффтоп)

Искал я как-то программиста с математическим уклоном. Давал на собеседовании простенькую задачу, но в ней нужно было иметь представление, насколько высота равнобедренного треугольника меньше бедра. После двух собеседований у меня закралось нехорошее подозрение и следующих 8 соискателей я просто спрашивал теорему Пифагора, давая при этом также геометрическую формулировку вопроса. Только один дал адекватный ответ (он был вдвое старше остальных) -- его даже оскорбил немного такой вопрос. Прочих (в большинстве) тоже оскорбил, но по ровно противоположным причинам. А я наконец-то понял, что такое культурный шок.

[provincialka]

grizzly
Насчет шока -- это точно! Помнится, раньше я расстраивалась, что школьники помнят из математики только корни квадратного уравнения через дискриминант да основное триг. тождество (ту же теорему Пифагора). Лет 5 назад я поняла, какая же я была наивная!