Вопросы по уравнению движущегося проводника с током. ЛЛ-8

[poiuytr]

Помогите разобраться в уравнениях движущегося проводника с током. ЛЛ-8 с .305-306.
Система отсчета $K'$ с проводником с постоянным током и электрическим полем $\mathbf{E'}$ движется со скоростью \mathbf{V} относительно покоящейся системы отсчета $K$. В системе $K'$, где проводник покоится \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'}, где \sigma – проводимость, $\mathbf{E'}$ – электрическое поле создающее ток, \mathbf{H} – напряженность магнитного поля создаваемого током. Переходя в неподвижную систему $K$ электрическое поле $\mathbf{E'}$ в правой части преобразуют в электрическое и магнитное поля и получают уравнение (63,5): \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E}+[\mathbf{VB}]) где \mathbf{Е} – электрическое поле в системе $K$, \mathbf{В} – магнитное поле, появившееся при переходе в систему $K$.

Вопрос 1. Почему при переходе в систему $K$ в левой части уравнения (63,5) напряженность магнитного поля оставляют как в системе $K'$ ? На мой взгляд в левой части уравнения (63,5) после перехода в систему $K$, должно появиться электрическое поле \mathbf{E}_H? \operatorname{rot} (\mathbf{H}-[\mathbf{VE}_H])= \mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E}+[\mathbf{VB}])? Поскольку ток остается постоянным, то если изменилась правая часть равенства \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'}, то должна измениться и левая часть.

Вопрос 2 Далее, в уравнении (63,5) напряженность электрического поля \mathbf{Е} выражают через магнитное поле: \mathbf{E}=(\operatorname{rot}\mathbf{H}-[\mathbf{VB}]){\frac{1}{\sigma}} в правой части здесь стоят два разных магнитных поля. \mathbf{Н} – поле создаваемое током в системе $K'$ и зависящее от величины тока и \mathbf{В} – поле от источника $\mathbf{E'}$ появившееся при переходе к системе $K$ и зависящее от скорости движения системы $K'$. В дальнейшем от \mathbf{В} переходят к \mathbf{Н}, но различающих индексов нет и получается, что в выражениях магнитное поле \mathbf{Н} одно, а дальше им и оперируют как одним полем. Почему так?

Вопрос 3 Далее, выражение для \mathbf{Е} подставляют в уравнение Максвелла \operatorname{rot}\mathbf{E}=-\partial_t \mathbf{B}. В этом уравнении электрическое поле не может быть потенциальным. Тогда и рассматриваемый случай движения проводника с током видимо справедлив только для случая не потенциального электрического поля $\mathbf{E'}$? Об этом в тексте ничего не говорится.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
По-видимому, этот ужас должен был изображать штрих? Если да, то это делается так: $K'$, набирать какK'. Кроме этого, не забывайте все такие обозначения оформлять в математической моде (в т.ч. и те, где штриха нет).


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Для начала:
1. Ссылки на ЛЛ-8 надо давать на номер параграфа и номер формулы. Потому что номера страниц в разных изданиях отличаются: различается вёрстка.
2. У вас со штрихами путаница и ерунда. У ЛЛ такой путаницы нет. А именно: полагается все физические величины в нештрихованной системе отсчёта обозначать без штрихов (можно с другими пометками), а в штрихованной все соответствующие величины - обозначать со штрихами.

Преобразования Лоренца от нештрихованных величин ко штрихованным: ЛЛ-2 §§ 24, 28.

До этого, даже разбираться не хочется, что вы написали, и в чём вопрос.

[poiuytr]

ЛЛ-8 издание второе, 1982 г. §63 Движение проводника в магнитном поле. С.303. Вы конечно правы. это я забыл штрих поставить \operatorname{rot}\mathbf{H'}=\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'}

[rustot]

1,2. Что то я не вижу в 63.5 никаких преобразования из какой то другой исо. Просто уравнения записанные для единственной исо с нуля

3. В одной системе отсчета магнитное поле проводника с постоянным током неизменно и значит электрическое безвихревое. В другой системе отсчета проводник движется, магнитное поле постоянно меняется (вот его не было, вот проводник приблизился и оно нарастает, вот проводник удаляется и оно убывает) и значит в этой системе отсчета электрическое поле уже вихревое

[Munin]

Давайте сделаем вот что. В § 63 используется приближение малых скоростей. Давайте используем точные формулы, и повторим все выкладки с ними.

[poiuytr]

В ЛЛ-8 в начале §63 для движущейся системы $K'$ записано \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'} Я для наглядности задаваемого мной вопроса дописал слева ротор магнитного поля \operatorname{rot}\mathbf{H'}=\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'}
Дальше в ЛЛ-8 из движущейся $K'$ переходят в неподвижную систему $K$ при этом электрическое поле $\mathbf{E'}$ записывают в виде 63,1 $\mathbf{E'}$=\mathbf{E}+[\mathbf{VB}] и затем это выражение подставляют в \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'}, но теперь слева дописывают ротор и получают уравнение 63,5 \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E}+[\mathbf{VB}]) , при этом не показано преобразование $\mathbf{H'}$ в неподвижную систему.

[Munin]

poiuytr в сообщении #1074321 писал(а):

В ЛЛ-8 в начале §63 для движущейся системы $K'$ записано $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E'}$

А вас не насторожило, что закон Ома обычно пишется в какой-то одной системе отсчёта?

[poiuytr]

Мне кажется, что закон Ома можно записать в любой системе. Так он и в первоисточнике он записан. Здесь можно вопрос по иному поставить. Как будет преобразовываться при переходе магнитное поле тока
\operatorname{rot}\mathbf{H'}=\mathbf{J} ? Я написал, \operatorname{rot} (\mathbf{H}-[\mathbf{VE}_H])=\mathbf{J}

[rustot]

А $\vec{j}$ по вашему не меняется при переходе в другую систему отсчета? Если в исходной исо проводник был электронейтрален, то в других исо составляющая плотности тока вдоль скорости прирастет в $\gamma$ раз

[Munin]

poiuytr в сообщении #1074499 писал(а):

Мне кажется, что закон Ома можно записать в любой системе.

Ну как это? А это ничего, что он физически происходит из определённых явлений, связанных с кристаллической решёткой проводника? И таким образом, привязан к собственной системе отсчёта этого проводника?

poiuytr в сообщении #1074499 писал(а):

Так он и в первоисточнике он записан.

Ну так надо разобраться, почему. Сначала.

poiuytr в сообщении #1074499 писал(а):

Здесь можно вопрос по иному поставить. Как будет преобразовываться при переходе магнитное поле тока

Я уже сказал, все преобразования электромагнитных величин - написаны аж ещё во втором томе Ландафшица. У вас его нет, что ли? Скачайте!

[poiuytr]

В вопросе 1 разобрался. Все предельно просто.
В ЛЛ-8 в §63 ищется описание электромагнитного поля, движущегося проводника с постоянным током наблюдаемого из неподвижной системы отсчета. (здесь в моих выкладках для упрощения написания электромагнитные константы опущены!). Повторяю условия из §63 с.303: проводник с постоянным током покоится в движущейся с постоянной скоростью \mathbf{V} системе $K'$, где $\mathbf{E'}$ - электрическое поле в системе $K'$, $\mathbf{H'}$ - магнитное поле в системе $K'$. Действует закон Ома (правая часть уравнения):
\nabla\times\mathbf{ H'}$=\mathbf{J}=\sigma\mathbf{ E'}$ (1)
В соответствии с СТО, из покоящейся системы $K$ наблюдаем поля:
\mathbf{E}=$\mathbf{E'}$-\mathbf{V}\times\mathbf{H'}$
\mathbf{H}=$\mathbf{H'}$+\mathbf{V}\times\mathbf{E'}$
Выразим по известному правилу поля в движущейся системе $K'$, через поля наблюдаемые из неподвижной системы $K$:
$\mathbf{E'}$=\mathbf{E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H}
$\mathbf{ H'}$=\mathbf{H}-\mathbf{V}\times\mathbf{E}
Подставим эти выражения для электрического и магнитного поля в уравнение (1)
\nabla\times\mathbf{ H'}$=\mathbf{J}=\sigma\mathbf{ E'}$
и получим уравнение электромагнитного поля для движущегося проводника, наблюдаемого из неподвижной системы $K$ в виде:
\nabla\times(\mathbf{ H}-\mathbf{V}\times\mathbf{E})=\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{ E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H}) или
\nabla\times\mathbf{ H}-\nabla\times(\mathbf{V}\times\mathbf{E})=\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{ E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H})
В ЛЛ-8 полученное в §63 уравнение 63,5 для электромагнитного поля имеет вид:
\nabla\times\mathbf{ H}=\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{ E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H})
Сравнение уравнений показывает, что в левой части уравнения 63,5 потерян член
-\nabla\times(\mathbf{V}\times\mathbf{E}) .
Таким образом, уравнение 63,5 в ЛЛ-8 является неполным, а учитывая ошибку, указанную в моем вопросе 2, последующие из 63,5 уравнения 63,6 и 63,7 являются попросту неправильными. Это особенно печально потому, что эти уравнения являются исходными для магнитной гидродинамики. В главе 8 «Магнитная гидродинамика» в §65 уравнение 65,2 получают из неправильного уравнения 63,7. Этими уравнениями также объясняют явление униполярной индукции.

[rustot]

Почему вы продолжаете везде $\vec{j}$ писать без штриха? Эта величина тоже разная в разных системах отсчета.

$\vec{j'} = \vec{j} + \vec{v}\gamma((1-1/\gamma)\frac{\vec{j}\vec{v}}{v^2} - \rho)$

И "в соответствии с сто" из другой исо мы наблюдаем тоже вовсе не

$\vec{E'} = \vec{E} + \frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B}$

а

$\vec{E'} = \gamma(\vec{E} - \vec{v}(1-1/\gamma)\frac{\vec{E}\vec{v}}{v^2} + \frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B})$

и удельная проводимость тоже разная в разных исо

Ландау же в данном случае вовсе не заморачиваясь этими мелкими блохами присвоил $\gamma=1$ и показывает лишь качественный результат, что плотность тока, в одной исо определяемая только электрическим полем в других определяется и электрическим и магнитным

Если же вы хотите перепроверить этот результат с абсолютной точностью то и пользуйтесь точными преобразованиями

[poiuytr]

В вопросе плотности тока я солидарен с ЛЛ. Если Вы уверены в своем мнении, то попробуйте взять патент на способ измерения скорости движения с помощью амперметра, на рынке это будет востребовано, озолотитесь. Что кается точности уравнений, то меня устраивает приближение малых скоростей.