Вопросы по уравнению движущегося проводника с током. ЛЛ-8

[Munin]

poiuytr в сообщении #1076144 писал(а):

Дополнительный член левой части имеет отрицательный знак, следовательно, при возрастании скорости V левая часть уравнения будет уменьшаться и при некоторой скорости она обратится в ноль

Так рассуждать нельзя. При возрастании $V$ вы выйдете из области применимости использованного приближения. Я же предлагал написать более точный расчёт, верный во всех порядках! Но вы не согласились.

Рассуждение rustot на основе инвариантов куда более надёжно.

poiuytr в сообщении #1076144 писал(а):

Как известно, для движущегося электрического заряда всегда можно выбрать инерциальную систему, в которой магнитное поле будет равно нулю.

Надо выяснить, откуда это вам "известно", и обратить ваше внимание на условия и ограничения, при которых это было получено, чтобы вы сами могли выписать возражения, как rustot.

[poiuytr]

Внимательно, как советовали, прочитал ЛЛ-8 §63 и сразу возник еще вопрос.
Почему не преобразовано в неподвижную систему уравнение. \nabla\mathbf{ H'$}=0?. Опять «это играем, это не играем, а в это рыбу заворачивали»? Попробую преобразовать сам. Получаю \nabla\mathbf{ H}-\nabla(\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)= \mathbf{E}(\nabla\times\mathbf{V}/c) - \mathbf{V}(\nabla\times\mathbf{E}/c)=0 Поскольку движение системы прямолинейное, то получим \nabla\times\mathbf{ E}=0 но тогда и использовать уравнение Максвелла \operatorname{rot}\mathbf{E}=-\partial_t \mathbf{B} наверное нельзя. Да и само и это уравнение не преобразовано из движущейся системы в неподвижную. Получается, что все три уравнения системы (63,5) записаны неправильно? В первом и третьем не сделаны преобразования перехода из систему в систему, а во втором уравнении, не преобразована левая часть. Или я что-то серьезно не понимаю?
Да вообще зачем все эти преходы из систему в систему делаются? Обычно так поступают для упрощения уравнений, а тут наоборот их усложняют. Какой в этом смысл? Сам физический процесс не меняется. Поэтому целесообразна та система где описание процесса проще. А так создается впечатление «матоблудия», пропадают члены, не все уравнения преобразованы. Пояснений по этому поводу никаких нет.

[rustot]

poiuytr в сообщении #1081100 писал(а):

Почему не преобразовано в неподвижную систему уравнение. $\nabla\mathbf{ H'}=0$?.

Потому-что такого уравнения нет в системе уравнений максвелла. $\nabla\vec{H}$ вполне может не равняться нулю

poiuytr в сообщении #1081100 писал(а):

Получается, что все три уравнения системы (63,5) записаны неправильно?

Все уравнения написаны приближенно. Человеком прекрасно знающим полную запись и ориентирующимся какие именно слагаемые в ней какой порядок малости имеют. Вы с одной стороны говорите что вас приближение устраивает, с другой тут же вытаскиваете малые члены и говорите что их отсутствие есть ошибка.

Напишите полное преобразование и вместе разберемся какое слагаемое какой порядок малости имеет

poiuytr в сообщении #1081100 писал(а):

Поскольку движение системы прямолинейное, то получим $\nabla\times\mathbf{ E}=0$

Не уловил, как ротор связан или не связан с прямолинейностью движения? Даже единственный летящий неускоренно заряд создает электрическое поле с ненулевым ротором.

poiuytr в сообщении #1081100 писал(а):

Да вообще зачем все эти преходы из систему в систему делаются?

Это делается когда может упростить какую то задачу. Реально это делается редко, не чаще чем при решении задач в классической физике пользуются преобразованиями Галилея. Допустим у вас есть система магнитов, зарядов и проводников с током, всех двигающихся с одной и той же скоростью. Безусловно проще будет преобразовать все в систему отсчета где все они (или большинство) неподвижны, чем рассчитывать поле движущихся источников

poiuytr в сообщении #1081100 писал(а):

А так создается впечатление «матоблудия», пропадают члены, не все уравнения преобразованы. Пояснений по этому поводу никаких нет.

Потому-что в 8 томе предполагают что 2 том уже изучен и нет необходимости заново объяснять все то же самое по второму разу. Что читающий знает полную форму и ясно видит какое именно приближение используется.

[Munin]

rustot в сообщении #1081129 писал(а):

Потому-что в 8 томе предполагают что 2 том уже изучен и нет необходимости заново объяснять все то же самое по второму разу. Что читающий знает полную форму и ясно видит какое именно приближение используется.

Чего и вам, poiuytr, остро рекомендуется.

[poiuytr]

Главным моим вопросом является вопрос методический. Темой §63 является получение уравнений электромагнитных процессов происходящих в движущейся (штрихованной) системе отсчета, наблюдаемых из неподвижной (не штрихованной) системы. Находясь в движущейся системе отсчета (штрихованной), мы наблюдаем следующие электродинамические законы, записанные в виде уравнений с принятыми в §63 приближениями (пренебрежение током смещения и членами, квадратичными по скорости):
1) \nabla\mathbf{H'}=0 (ЛЛ-2 §26 ур. (26,2))
2) \nabla\times\mathbf{E'}=-\partial_t \mathbf{H'} (ЛЛ-2 §26 ур. (26,3))
3) 4\pi\sigma\mathbf{J'}/c=\nabla\times\mathbf{H'} (ЛЛ-2 §30)
4) \mathbf{J$'}=\sigma\mathbf{E'} (ЛЛ-8 §63)
Последние два уравнения, исключив плотность тока, можно объединить в одно уравнение (так сделано в §63):
3) \nabla\times\mathbf{H'}=4\pi\sigma\mathbf{E'}/c
В результате, для движущейся (штрихованной) системы имеем три уравнения. Если переходим в неподвижную (не штрихованную) систему, то должны в этих уравнениях заменить штрихованные электрическое и магнитное поля в соответствии с выражениями:
\mathbf{E$'}=\mathbf{E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H}/c (ЛЛ-2 §24)
\mathbf{H$'}=\mathbf{H}-\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c
Вопрос: правилен такой методический подход или нет?
Для меня этот вопрос является риторическим, но может я ошибаюсь? Если мой подход правильный, то я напишу, что из всего этого получилось.

[rustot]

Да, с точностью до $\gamma-1 \approx \frac{v^2}{2 c^2}$ на малых скоростях это верные преобразования. А вот точные:

$\vec{E}' = \gamma(\vec{E} + \frac{\vec{v}}{c}\times\vec{B}) - (\gamma-1)\vec{v}\frac{\vec{v}\vec{E}}{v^2}$
$\vec{B}' = \gamma(\vec{B} - \frac{\vec{v}}{c}\times\vec{E}) - (\gamma-1)\vec{v}\frac{\vec{v}\vec{B}}{v^2}$

Вот если то что у вас "получилось" при этом не получается с точными преобразованиями, то получились именно вылезшие хвосты, которыми пренебрегли. Эти хвосты не обязательно в явном виде содержат $\frac{v^2}{c^2}$. Допустим у вас может появиться просто плотность заряда $\rho$ которой не было, никаких $\frac{v^2}{c^2}$ тут не видно пока вы в явном виде не распишете а какой же величины поле определено этим $\rho$ в сравнении с "основным"

[Munin]

rustot

(Оффтоп)

Простите, когда вы научитесь писать команду mathbf? От неё формулы станут намного красивее. И dfrac тоже приятна.

[AnatolyBa]

poiuytr в сообщении #1081359 писал(а):

$\nabla\mathbf{H'}=0$

В штрихованной системе отсчета и координаты штрихованные и дифференциальные операторы штрихованные. Вы этого не учитываете.
Правда ЛЛ в §63-8 не писали УМ в штрихованной системе.

[poiuytr]

Посмотрим, что получилось после перехода в неподвижную систему.
При этом, к преобразованным уравнениям 1-3 добавятся уравнения
4) \nabla\mathbf{H}=0 5) \nabla\times\mathbf{E}=-\partial_t \mathbf{H}/c
1) Из уравнения 1), получим \nabla(\mathbf{H}-\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)=\nabla\mathbf{H}-\nabla(\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c) или
\nabla\mathbf{H}+\mathbf{E}(\nabla\times\mathbf{V}/c)-\mathbf{V}(\nabla\times\mathbf{E}/c)=0
Первый член равен нулю в силу уравнения 4). Второй член отбрасываем, он связан с угловой скоростью, а движение системы отсчета прямолинейное. Остается третий член
\nabla\times\mathbf{E}=0 из него следует \partial_t \mathbf{H}=0 в силу уравнения 5)
Уже можно сделать важный вывод. Поскольку \partial_t \mathbf{H}=0 известное уравнение диффузионного распространения магнитного поля не имеет право на свое существование и про «просачивание» магнитного поля сквозь среду нужно забыть.
2) Из уравнения 2) получим
\nabla\times(\mathbf{E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H}/c)=-\partial_t(\mathbf{H}-\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)/c или
\nabla\times\mathbf{E}+\nabla\times(\mathbf{V}\times\mathbf{H}/c)=-\partial_t\mathbf{H}/c+\partial_t(\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)/c правая часть уравнения равна нулю в силу уравнения 1), равномерного движения, а током смещения пренебрегаем. В левой части останется только второй член в силу уравнения 1) получим \nabla\times(\mathbf{V}\times\mathbf{H}/c)=0
применив векторное тождество, учитывая уравнение 4) и постоянство скорости движения системы, получим (\mathbf{V}\nabla)\mathbf{H}=0
3) Из уравнения 3) получим \nabla\times\mathbf{H}-\nabla\times(\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)=4\pi\sigma(\mathbf{E}+\mathbf{V}\times\mathbf{H}/c)/c или
\nabla\times\mathbf{H}-\nabla\times(\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)=4\pi\sigma\mathbf{E}/c+4\pi\sigma \mathbf{V}\times\mathbf{H}/c^2
Или пренебрегая квадратичным членом в правой части и применяя векторное тождество ко второму члену левой части, получим
\nabla\times\mathbf{H}=(\mathbf{V}\nabla)\mathbf{E}/c-\mathbf{V}(\nabla\mathbf{E})/c+4\pi\sigma\mathbf{E}/c
Теперь сведем все «кирпичи» магнитогидродинамики в одно место:
1) \nabla\times\mathbf{E}=0
2) \partial_t \mathbf{H}=0
3) \nabla\mathbf{H}=0
4) (\mathbf{V}\nabla)\mathbf{H}=0
5) \nabla\times\mathbf{H}=(\mathbf{V}\nabla)\mathbf{E}/c-\mathbf{V}(\nabla\mathbf{E})/c+4\pi\sigma\mathbf{E}/c
Что из этих пяти «кирпичей» можно построить, предсказать не берусь, но вид сооружения будет не тот, что описан в ЛЛ-8. Теперь нужно архитектора найти для строительства. Может кто возьмется?
Но даже если я здесь не сделал ошибок, то на мой взгляд постройка будет убогая, но в рамках принятых ограничений правильная. На мой взгляд, нельзя пренебрегать током смещения, поскольку это член первого порядка малости. Что касается членов второго порядка малости, то принципиально они ничего изменить не могут.

[rustot]

С какой стати $\nabla\times\vec{E} = 0$?

Проводник с током был вдали от какой то точки, а потом оказался вблизи от нее. Значит точке сначала было маленькое магнитное поле а потом стало большое. Что все это время в промежутке происходило с производной магнитного поля по времени и соответственно ротором электрического поля?

[poiuytr]

Я же предупредил, что постройка будет убогая, но правильная, точно в рамках принятых ограничений. следовательно исходные положения нужно изменить, например оставить ток смещения и все выкладки повторить. В космическом пространстве проводимость близка к нулю, тока проводимости нет, а магнитное поле есть. за счет тока смещения. Следовательно его нельзя отбрасывать.

[rustot]

В задачах на излучение величины $\vec{B}$ и $\vec{E}$ одного порядка, в задачах на движение нескомпенсированного заряда величины $\frac{v}{c}\vec{E}$ и $\vec{B}$ одного порядка. В задачах на проводники с током величины $\vec{E}$ и $\frac{v}{c}\vec{B}$ одного порядка

Поэтому если уж вы решаете приближенно, а не точно, то приближенное решение годится исключительно для выбранного класса задач, для другого класса задач окажутся отброшенными не те члены. Поэтому все те приближенно верные выражения для проводящей среды, для пустого пространства никак не годятся

Не уверены что в каждом конкретном случае отбросить можно а что нельзя - решайте точно, это самый простой путь

[poiuytr]

Я понял, что учет тока смещения просто расширит область применения уравнений. Но поскольку он не входит в уравнение \nabla(\mathbf{H}-\mathbf{V}\times\mathbf{E}/c)=0, учет тока смещения принципиально ничего не меняет и казус \nabla\times\mathbf{E}=0 и \partial_t \mathbf{H}=0 остается. Тогда в чем причина этого казуса? Методически все правильно. Не учтены только эффекты больших скоростей. Может еще что не учтено?

[rustot]

Итак из $\nabla'\vec{B}'=0$ вы получили $\frac{\vec{v}}{c} \nabla' \times\vec{E} \approx 0$. И пытаетесь из этого сделать какие то выводы

Во-первых $\nabla \times\veс{E} \ne \nabla'\times\vec{E} \ne \nabla'\times\vec{E}'$, вы получили именно второе, то есть не ротор поля в какой либо из двух исо, а гибрид в виде производной не преобразованного поля по преобразованным координатам.

Во-вторых вы не обнаружили что даже такой ротор приближенно равен нулю, вы обнаружили только что одна его проекция, на $\vec{v}$, приближенно равна нулю. То есть что производной по времени от проекции $\vec{B}$ на $\vec{v}$ мы пренебрегли, но не производной от всего $\vec{B}$

[poiuytr]

А каким образом выполняются преобразования дифференциальных операторов при при переходе из движущейся системы в неподвижную? Я ни в ЛЛ-2, ни в ЛЛ-8 этого не встретил.