Линейная скорость тела запущенного от основания пропеллера

[Утундрий]

Sic.

[unistudent]

Все-таки ответ будет немножко другим:)

amon в сообщении #1056031 писал(а):

[Во вращающейся СО:

$$ m\ddot{R}=m\omega^2R$$

Вместо $R$ пишем $x$, а $R$ пусть будет длиной лопасти. Тогда

$$ \ddot x = \omega^2 x,$$

и решением будет

$$x(t)=C_1 e^{\omega t} + C_2 e^{-\omega t}. \qquad (1)$$

Если $x(0) = \dot x(0) = 0$, то $x(t) \equiv 0$, то есть, груз остается в центре и говорить о том, что с ним будет в другом положении бессмысленно. Чтобы груз начал двигаться, надо его сместить в положение $x_0$. И тогда, интуитивно, радиальная составляющая скорости груза в момент $x=R$ должна быть меньше, чем $\omega R.$ Так и есть.

Пусть $x_0>0$. Тогда

$$x(t)=\frac{x_0}{2}\left(e^{\omega t} + e^{-\omega t} \right), \qquad (2)$$

откуда время, за которое груз доползет до конца лопасти

$$T = \frac{1}{\omega}\ln\left[\frac{R + \sqrt{R^2 - x_0^2}}{x_0}\right]. \qquad (3)$$

Дифференциируем (2), подставляем (3), получаем

$$\dot x(T)=\omega\left[R - \frac{x_0^2}{R+\sqrt{R^2-x_0^2}}\right]$$

[amon]

unistudent в сообщении #1056436 писал(а):

Все-таки ответ будет немножко другим:)

А Вы посмотрите, что я делал, и сравните со своим. Уважаемому ТС'у хотелось $\sqrt{2}$, я его и обеспечил.

[unistudent]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1056439 писал(а):

Уважаемому ТС'у хотелось $\sqrt{2}$, я его и обеспечил.

Я знаю:) Пардон. Просто, представилась редкая возможность поумничать

-- 25.09.2015, 11:06 --

[baryshnikov]

unistudent в сообщении #1056436 писал(а):

Дифференциируем (2), подставляем (3), получаем

$$\dot x(T)=\omega\left[R - \frac{x_0^2}{R+\sqrt{R^2-x_0^2}}\right]$$

а это выражение уже векторно складываем с $\omega$$R$ чтобы получить скорость груза, слетевшего с пропеллера?

[unistudent]

Ну да. Но это только когда $x(0)=x_0, \dot x(0)=0$. Если $x(0)=0, \dot x(0)=v_0>0$, то радиальная составляющая скорости в момент слёта будет больше чем $\omega R$.

[Munin]

amon
Теперь можно рассмотреть пропеллеры с непрямыми "рогами", чтобы максимизировать скорость.

[Sintetik]

У меня возник любопытный вопрос. Не будет ли на груз при торможении пропеллера действовать центростремительная сила, ведь при равномерном вращении или при ускорении вращения направляющая постоянно уходит от перпендикулярности с касательной и груз съезжает как с горки. А при торможении происходит обратная картина.

[baryshnikov]

Sintetik в сообщении #1061958 писал(а):

У меня возник любопытный вопрос. Не будет ли на груз при торможении пропеллера действовать центростремительная сила, ведь при равномерном вращении или при ускорении вращения направляющая постоянно уходит от перпендикулярности с касательной и груз съезжает как с горки. А при торможении происходит обратная картина.

Я думаю, что на груз нет, ведь главное, что он вращается, при торможении скорость вращения просто уменьшается, и центробежная сила тоже уменьшается.

-- 13.11.2015, 14:51 --

Munin в сообщении #1057915 писал(а):

amon
Теперь можно рассмотреть пропеллеры с непрямыми "рогами", чтобы максимизировать скорость.

Не могли бы пояснить что за пропеллер с непрямыми "рогами"? Как он максимизирует скорость?

[Munin]

Загните их, например, по спирали. И посчитайте скорость снова.

[baryshnikov]

Munin в сообщении #1073022 писал(а):

Загните их, например, по спирали. И посчитайте скорость снова.

А! Ну да, путь от основания до периферии больше получается, отсюда и больше скорость радиальной составляющей. Спасибо!