Проблемы с определением.

[maxmatem]

Определение.

Пусть $G \subset R^2$ - бильярдный стол. Обозначим через $T(x;y)$ множество бильярдных траекторий в $G$ которые соединяют точки $x$ и $y$.
Пара $x$ и $y$ называются безопасными, если существует конечное множество точек в $G$ отличных от $x$ и $y$ что каждая траектория проходит хотя бы через одну точку этого множества.

Вопрос вот в чем, я никак не могу вникнуть в это определение, так как не пойму, ну возьмем мы любую траектория проходящую через $x$ и $y$, и возьмем на ней хотя бы одну отличную от $x$ и $y$ точку, разве нельзя так проделать с каждой траекторией?


Скорее всего я просто не так понимаю

[grizzly]

maxmatem в сообщении #1073736 писал(а):

ну возьмем мы любую траектория проходящую через $x$ и $y$, и возьмем на ней хотя бы одну отличную от $x$ и $y$ точку, разве нельзя так проделать с каждой траекторией?

Можно, если у Вас этих траекторий конечное число. А если траекторий бесконечно много, то брать "блокирующие" точки наобум уже нельзя -- Вам ведь нужно, чтобы множество блокирующих точек было конечным. В каких-то случаях получится подобрать конечное множество (или доказать его существование), а в каких-то конечным количеством блокировок никак не обойтись -- тогда пара точек $x$ и $y$ будет небезопасной.

[maxmatem]

Спасибо, теперь ясно что при мое подходе бесконечное число точек было бы задействано.

Кстати а вы не в курсе , доказана ли гипотеза о том что бильярдный стол безопасен тогда и только тогда когда он вполне интегрируем

[grizzly]

maxmatem в сообщении #1073791 писал(а):

Кстати а вы не в курсе , доказана ли гипотеза о том что бильярдный стол безопасен тогда и только тогда когда он вполне интегрируем

Нет, не в курсе. Вроде бы многоугольник безопасен даже когда он почти интегрируем (ну и только тогда). Вы лучше посмотрите этот обзор (если ещё не) и работы по тамошним ссылкам. Правда замечания о том, что результаты разных статей пока противоречат друг другу, а доказательства при этом весьма сложны, как-то не вселяют уверенности

[maxmatem]

спасибо за ссылку, я уже изучал эту статью. Ну посмотрим может всетаки вопрос хотя бы частично проясниться, хотя автор статьи говорит достаточно прямо , о безнадежности это вопроса.

Еще раз спасибо за помощь.