Две ракеты

[amon]

А ничего, что в задаче ракета (тело переменной массы), для которой это:
$h_1(t_2) = h(t_2) - \frac{gt_2^2}{2}$
неверно.

[slavav]

Я считаю эту формулу верной. Если вы не согласны, то приведите свою формулу.
На всякий случай добавлю, что для данной задачи функция $h$ не имеет прямой физической интерпретации. Это просто обозначение для интеграла интеграла модуля реактивного ускорения.
$a_1(t) = a(t) - g$

$v_1(t) = \int\limits_{0}^{t}a_1(t)dt = \int\limits_{0}^{t}(a(t) - g)dt = v(t) - gt$

$h_1(t) = \int\limits_{0}^{t}v_1(t)dt = \int\limits_{0}^{t}(v(t) - gt)dt = h(t) - \frac{gt^2}{2}$

[bondkim137]

slavav в сообщении #1073572 писал(а):

Я считаю эту формулу верной.

Я тоже пытался найти выражение высот в этой задаче. Смог найти для ракет неизменной массы (например, заряженных частиц в электрическом + гравитационном поле). В общем случае выражение становилось громоздким. Потому и вопросы по точному выражению возникли. Но док-во в виде неравенства у меня соб-но такое же точно, как у Вас, и получилось - на чем я задачу посчитал решенной.

-- 15.11.2015, 02:44 --

NT2000 в сообщении #1073374 писал(а):

Первая.
Скоро топливом ракеты заправлены одинаково, то и пролететь они могут одинаковое расстояние.
А вторая ракета должна пролететь дополнительно еще 2 высоты обрыва.

нет, топливо закончится в один момент времени. расстояние они до этого момента пройдут разное - зависит от функций скорости. плюс после этого по инерции они еще могут пройти какое-то расстояние для установки собственного рекорда высоты, который и является объектом исследования данной задачи.

[NT2000]

bondkim137 в сообщении #1073575 писал(а):

на чем я задачу посчитал решенной.

Думаю поспешили.
Весь тык с якобы дополнительной энергией приобретенной при опускании в овраг,
ровно столько же расходуется на подьем с дна оврага на его поверхность.
Если было иначе, тогда почему бы не строить Perpetuum m. например на Луне?

[bondkim137]

NT2000 в сообщении #1073577 писал(а):

Весь тык с якобы дополнительной энергией приобретенной при опускании в овраг,
ровно столько же расходуется на подьем с дна оврага на его поверхность.
Если было иначе, тогда почему бы не строить Perpetuum m. например на Луне?

нет, это не так. при падении в овраг энергию приобретала не только ракета, но и ее топливо. а реактивный двигатель так устроен, что превращает в полезную энергию не только разгон топлива в собственной системе отчета, но и его торможение в системе отчета, связанной с землей. а т.к. кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости (не линейна), появляются 'дармовые' джоули. Эффект Оберта.

[amon]

slavav в сообщении #1073572 писал(а):

Я считаю эту формулу верной. Если вы не согласны, то приведите свою формулу.

Может и зря я на Вас наехал. Прочитал по диагонали, и решил, что Вы какую-то чушь сосчитали. Тем не менее, что-то мне тут не очень.

bondkim137 в сообщении #1073575 писал(а):

Я тоже пытался найти выражение высот в этой задаче.

Уравнение движения

$$ \begin{align} &m(t)\frac{dv}{dt}=F\pm gm(t)\\ &F=u\frac{dm}{dt}\\ &m(t)=m_P+m_T-\frac{F}{u}t\\ &t_\mathrm{max}=\frac{um_T}{F} \end{align} $$

($u$ - скорость газов) имеет первый интеграл $C=v+u\ln(m(t))\mp gt$. Верхний знак соответствует движению вниз (для простоты ;). Из начальных условий $C=u\ln(m_P+m_T)$, соответственно, $v=u\ln\frac{m_P+m_T}{m(t)}\pm gt$. Скорость в конце подъема - $v_\mathrm{max}=u\ln\left(\frac{m_P+m_T}{m_P}\right)-gt_\mathrm{max}$. Дальше все элементарно интегрируется, но лень. Похоже, slavav прав.

[Skeptic]

При полёте ракет вверх учитывается только вертикальное движение. Ракеты начинают полёт вверх с нулевой вертикальной скоростью. Точка начала полёта вверх (нулевая вертикальная скорость) у первой ракеты расположена выше, чем у второй. Следовательно, первая ракета взлетит выше.

[chislo_avogadro]

bondkim137 в сообщении #1073310 писал(а):

Две одинаковые ракеты ... Тяга у ракет одинаковая, и топливо закончится одновременно.

bondkim137 в сообщении #1073499 писал(а):

Вот элегантное решение:

slavav в сообщении #1073427 писал(а):

В каждый момент времени вторая ракета двигается быстрее первой. Силы тяги ракет одинаковы. Следовательно вторая ракета развивает большую мощность в каждый момент времени. ..

Если одна из ракет развивает "в каждый момент" бOльшую мощность, то ракеты не могут быть одинаковыми (по запасам горючего).

[bondkim137]

Skeptic в сообщении #1073606 писал(а):

При полёте ракет вверх учитывается только вертикальное движение. Ракеты начинают полёт вверх с нулевой вертикальной скоростью. Точка начала полёта вверх (нулевая вертикальная скорость) у первой ракеты расположена выше, чем у второй. Следовательно, первая ракета взлетит выше.

Совершенно не следовательно. Вторая ракета начинает полет вверх со дна обрыва с ненулевой скоростью.

-- 15.11.2015, 13:35 --

chislo_avogadro в сообщении #1073662 писал(а):

Если одна из ракет развивает "в каждый момент" большую мощность, то ракеты не могут быть одинаковыми (по запасам горючего).

могут. это реактивные двигатели. их эффективная мощность зависит от скорости (прямое произведение скорости на тягу)

[Skeptic]

Если считать, что у второй ракеты, при опускании в овраг, кинетическая энергия увеличивается (интересно, за счёт чего?), то справедливо считать, что при некоторой глубине оврага вторая ракета взлетит выше первой даже без топлива.

[bondkim137]

Skeptic в сообщении #1073717 писал(а):

Если считать, что у второй ракеты, при опускании в овраг, кинетическая энергия увеличивается (интересно, за счёт чего?), то справедливо считать, что при некоторой глубине оврага вторая ракета взлетит выше первой даже без топлива.

Увеличивается за счет потери потенциальной энергии.
Без топлива не взлетит - что бы выбраться из потенциальной ямы придется потратить всю набранную кинетическую энергию

[Утундрий]

bondkim137 в сообщении #1073310 писал(а):

Тяга у ракет одинаковая

И постоянная?

[bondkim137]

Утундрий в сообщении #1073732 писал(а):

bondkim137 в сообщении #1073310 писал(а):

Тяга у ракет одинаковая

И постоянная?

для простоты можно считать, что постоянная.
хотя в общем случае может меняться, одновременно и одинаково

[chislo_avogadro]

bondkim137 в сообщении #1073664 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1073662 писал(а):

Если одна из ракет развивает "в каждый момент" большую мощность, то ракеты не могут быть одинаковыми (по запасам горючего).

могут. это реактивные двигатели. их эффективная мощность зависит от скорости (прямое произведение скорости на тягу)

Ваш ответ верен за исключением первого слова. Вот представьте, Вы едете на велосипеде один раз по ветру, другой раз против. Сила давления на педали в обоих случаях одна и та же, время движения одинаково. В каком случае вспотеете больше? Условие Вашей задачи противоречиво.

[Munin]

chislo_avogadro
Вы знаете, чем велосипед отличается от ракеты?