Встреча частиц

[Geen]

В терминах упоминавшихся ранее множеств $A$ и $B$ - кажется, если доказать, что их замыкание связно, то это будет решением?

-- 14.11.2015, 13:33 --

Nemiroff в сообщении #1073294 писал(а):

grizzly в сообщении #1073291 писал(а):

Более того, я уже жаловался выше, что у меня и формального понимания условия нет.

Настоятельно рекомендую глянуть ссылку, из моего поста. И далее по статьям.

В ответ подглядывать нечестно

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #1073296 писал(а):

В ответ подглядывать нечестно

Зато сразу понятно, что sup молодец.

[grizzly]

(sup)

Я всё же недостаточно математик :) Там где нормальные математики видят проблему в горизонтальных участках, я вижу проблему в бесконечных осцилляциях

[Geen]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #1073297 писал(а):

Зато сразу понятно, что sup молодец.

Согласен, я бы этот пример ещё бы не меньше недели придумывал.

А вообще, такие задачи надо в пятницу вечером давать, а не среди недели

[iancaple]

Geen в сообщении #1073296 писал(а):

В терминах упоминавшихся ранее множеств $A$ и $B$ - кажется, если доказать, что их замыкание связно, то это будет решением?

В терминах того треугольника, где они расположены, если бы удалось доказать, что множество $M$ "достижимых из вершины прямого угла" точек замкнуто на плоскости, то это было бы решением, там дальше легко. Но еще вчера я обнаружил, что это не так. Но счел, что функция $F(x,y)=f(x)-f(y)$ это ведь не произвольная непрерывная функция двух переменных, и надо бы учесть ее свойства.
Но пример sup все поставил на место. В нем есть предельные точки $M$, не принадлежащие ему, а именно, отрезок на плоскости $[0.1;0.2]\times \{0.8\}$

[sup]

Geen в сообщении #1073304 писал(а):

я бы этот пример ещё бы не меньше недели придумывал.

Да я случайно придумал этот пример.
Я вообще рассуждал так. Прямо руками строить искомые траектории - это какой-то тихий ужас. Проще построить приближенные решения и доказать сходимость. Благо есть простой пример - кусочно-линейные функции. На них искомые траектории строятся очевидным образом.
Двигаем точки навстречу друг-другу. Если встречается локальный экстремум, то одну из точек двигаем в прежнем направлении, а другую в обратном. Легко видеть, что такая возможность всегда есть и единственна. Ну итд. Интуитивно ясно, что в конце-концов они встретятся. Вот бы еще и расстояние между ними постоянно убывало - вообще бы здорово было. Но это не всегда так. Вот если бы у функции производная была бы $\pm 1$, то, как легко видеть, расстояние между точками всегда бы не возрастало. Более того. Сумма вариаций $x(t)$ и $y(t)$ равнялась бы полной вариации $f(x)$ по отрезку $[0,1]$. А значит была бы ограничена, а там компактность светится итд.
Но ведь задачу можно и слегка изменить. Пусть функция $\varphi(x)$ - монотонно возрастает. Причем $\varphi(0) = 0$ и $\varphi(1) = 1$. Тогда вместо функции $f(x)$ можно рассмотреть $f_1(x) = f(\varphi(x))$. Решения этих задач легко выражаются друг через друга. Ну а теперь рассмотрим $v(s)$ - вариацию $f(x)$ на отрезке $(0,s)$. Это монотонная функция. Поэтому у нее есть обратная. Полагаем $\varphi = v^{-1}$. Тогда производная у $f_1$ будет в точности $\pm 1$. А дальше уже вроде все получается.
Дело за малым. Обратимость $v(s)$. И вот в этот момент и выяснилось, что если на графике $f$ есть горизонтальные отрезки, то $v(s)$ не строго монотонна. И обратимости нет. Отсюда и вопрос. А это существенное требование или его можно как-то объехать? Но сама конструкция подсказывает как искать контрпример (если таковой имеется).

[Geen]

(Оффтоп)

sup в сообщении #1073315 писал(а):

Да я случайно придумал этот пример.

Ну вот, а говорите "случайно"

[grizzly]

Я просмотрел несколько статей по предложенной ссылке (которые пока смог найти в открытом доступе). Пока мне больше всего понравилась вот эта. Она более современна и сколько-то отвечает на мои сомнения (в частности, там задача сводится не просто к задаче существования, а к некоторому конечному алгоритму). Но это я отвлёкся. В конце статьи высказано косвенное мнение по поводу:

sup в сообщении #1073315 писал(а):

А это существенное требование или его можно как-то объехать?

Цитата:

Of course, it would be interesting to characterize nonclimbable pairs $(f, g)$. Our conjecture is that there is no simple characterisation, maybe the set $\{(f, g) \mid f, g \in \mathcal F, f \nsim g\}$ is not even a Borel subset of $\mathcal F \times \mathcal F$.

[Munin]

Ну вот, я хотел почитать, чем дело кончится, а все убежали по ссылкам, и оставили меня одного...

[Geen]

iancaple в сообщении #1073313 писал(а):

Но пример sup все поставил на место.

? Позволим ординатам отличаться не более чем на $\varepsilon$....

[sup]

Не стану ничего утверждать наверняка, но мне кажется, что чисто топологический подход может столкнуться с серьезными проблемами. Доказать, что мы имеем связное множество еще мало. Нам надо линейно-связное множество. А это совсем другое дело.
Как я уже говорил, можно просто приближать функцию ломаными, получать приближенные решения и переходить к пределу. Этот подход мне кажется вполне перспективным. Для функций с ограниченной вариацией, в сущности, уже все есть.
1. Без потери общности считаем, что вариация $V_f(0,1) = 1$.
2. Если $f(x)$ не константа на любом интервале, то ее вариация $v(s) = V_f(0,s)$ - строго монотонная функция. А значит можно перейти к новой функции $f_1(x) = f(v^{-1}(x))$. Оставляя обозначения прежними, можем считать, что $v(s) = s$. Это свойство будем далее называть $S$-свойством.
3. Приближаем $f(x)$ какой-нибудь ломаной, удовлетворяющей $S$-свойству (возможно "с точностью до $\varepsilon$). Решение для такой ломаной - липшицевы функции $x(t), y(t)$ с константой 1.
4. В силу этого семейство приближенных решений компактно.
5. Выбираем сходящуюся подпоследовательность и доказываем, что это искомое решение.

А вот в общем случае надо следить не за вариацией, а за модулем непрерывности. У меня такое ощущение, что для ломаных можно строить решение с неким модулем непрерывности, который детерминировано связан с модулем непрерывности $\omega_f(\delta)$. После этого теорема Асколи-Арцела.

[Geen]

grizzly в сообщении #1073364 писал(а):

Пока мне больше всего понравилась вот эта
.

Всё-таки мне кажется, это немного другая задача - в нашем случае встреча не обязана произойти в глобальном максимуме (если он не один).

[grizzly]

Geen в сообщении #1073452 писал(а):

Всё-таки мне кажется, это немного другая задача - в нашем случае встреча не обязана произойти в глобальном максимуме (если он не один).

Да ладно. Ну формально наша задача чуть слабее. Но не настолько же, чтобы была надежда найти хоть в чём-то более простое решение

[Geen]

grizzly в сообщении #1073486 писал(а):

Ну формально наша задача чуть слабее.

Кажется наоборот.

[grizzly]

Geen в сообщении #1073493 писал(а):

Кажется наоборот.

Любое решение той задачи удовлетворяет нашу.