Встреча частиц

[Geen]

grizzly в сообщении #1072962 писал(а):

Утверждение настолько же верное, насколько и бесполезное

Я пропустил слово "только" (только если) - полагаю, полезность стала больше (правда меньше уверенности в верности)

[Munin]

grizzly в сообщении #1072940 писал(а):

Предложенную ТС задачу многие пытаются взять нахрапом при попытке решить вот эту. Там бы оно сразу помогло.

Приведённое там решение (на math.SE) очень красивое! Я в восторге! (Хотя, может быть, это не сразу поможет решить эту...)

[sup]

Что-то я не уверен в корректности задачи. А не требуется ли там дополнительное условие, что график функции $f(x)$ не содержит горизонтальных отрезков? Проще говоря, на любом отрезке функция не является постоянной.

[grizzly]

sup в сообщении #1073261 писал(а):

А не требуется ли там дополнительное условие, что график функции $f(x)$ не содержит горизонтальных отрезков?

А зачем бы это могло понадобиться? Не могу представить себе ситуацию, в которой из-за горизонтальных участков возникают сложности. Любой горизонтальный отрезок графика при необходимости преодолевается горизонтальным же движением одной из точек (другая точка в это время ожидает в неподвижности).

[sup]

Хм.
А у Вас есть формальное доказательство?
Давайте рассмотрим пример. Пусть в окрестности нуля будет ступенька

$$ f(x) = \begin{cases} x ,&\text{если $0 \leqslant x \leqslant 0.1$} \\ 0.1 ,&\text{если $0.1 \leqslant x \leqslant 0.2$} \\ x - 0.1,&\text{если $0.2 \leqslant x \leqslant 0.4$} \end{cases} $$

А в окрестности единицы бесконечная осцилляция

$$ f(x) = \begin{cases} 1 - x ,&\text{если $0.9 \leqslant x \leqslant 1$} \\ 0.1 + (x - 0.9)^{10} \sin ( \frac {1}{x - 0.9}),&\text{если $0.8 \leqslant x < 0.9$} \end{cases} $$

Сможете пройти через эту пилу? Да так, чтобы траектория левой частицы была непрерывна?

[dsge]

sup в сообщении #1073270 писал(а):

А в окрестности единицы бесконечная осцилляция

График непрерывной функции может иметь бесконечную длину в окрестности любой точки, например, реализация броуновского движения; броуновский мост удовлетворяет условию $f(0)=f(1)=0$.

[Geen]

Даже если левой частице придётся пройти бесконечный путь (при конечном пути для правой), это, как мне кажется, не может быть препятствием для встречи.

P.S. И "страшнее" было бы брать маленькую степень, мне кажется.

[sup]

Здесь речь идет не о спрямляемости, а о том, что в окрестности перехода правой точки через координату $0.9$, левая точка будет обязана бесконечное количество раз пробежать по отрезку $(0.1, 0.2)$. А значит непрерывности $x(t)$ не будет. Да, функция $f(x(t))$ будет непрерывной. Что и создает иллюзию благополучия. Но нам нужна $x(t)$.

[Nemiroff]

https://en.wikipedia.org/wiki/Mountain_climbing_problem

[Geen]

sup в сообщении #1073281 писал(а):

Но нам нужна $x(t)$.

А почему именно эта ф-ция нам нужна?

[sup]

Ну а как по-другому?
У нас есть две частицы "левая" и "правая". Они двигаются и их траектории описываются непрерывными функциями $x(t)$ и $y(t)$. Если не требовать непрерывность, то вообще не о чем говорить.
Дополнительно мы требуем $f(x(t)) = f(y(t))$. Выше приведен пример, в котором непрерывность $x(t)$ обеспечить не удается.

[grizzly]

UPD.
Удалил, познакомившись с ссылкой Nemiroff.
sup прав, а мне предстоит ещё немного потрудиться, что подправить свою интуицию.

[Geen]

Это может быть, например, $x(y)$ (то есть "движение" не обязательно должно быть параметризовано "временем").
Впрочем, на этот вопрос должен отвечать ТС

[Nemiroff]

grizzly в сообщении #1073291 писал(а):

Более того, я уже жаловался выше, что у меня и формального понимания условия нет.

Настоятельно рекомендую глянуть ссылку, из моего поста. И далее по статьям.

[grizzly]

Nemiroff
Да-да, я как раз уже посмотрел. Спасибо, тема меня интересовала давно, но я не знал, где искать.
Хотел удалить своё прошлое сообщение, но разве тут успеешь за всеми :)