Встреча частиц

[Dmitry Tkachenko]

Рассмотрим непрерывную функцию $f\colon [0,1] \to [0,+\infty), f(0)=f(1)=0.$ Рассмотрим частицы $p$ и $e,$ начальное положение которых $(0,0)$ и $(1,0)$ соответственно. Частицам разрешено двигаться по графику $f$ только так, чтобы их ординаты оставались равными. Доказать, что частицы могут встретиться.

[Mihr]

Разве существует непрерывное отображение отрезка на бесконечный промежуток? Как-то малопонятно

[Dan B-Yallay]

Mihr в сообщении #1072755 писал(а):

Разве существует непрерывное отображение отрезка на бесконечный промежуток?

А там разве НА а не В?

[Dmitry Tkachenko]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1072755 писал(а):

непрерывное отображение отрезка на бесконечный промежуток

При чем тут отображение на? Если в задаче функция $f\colon [0,1]\to \mathbb{R}$, то Вы $x^2$ при $0\leqslant x\leqslant 1$ не рассматриваете автоматически?

Сейчас $f$ это какая-то непрерывная, не отрицательная функция на отрезке, принимающая на концах этого отрезка значение 0.

[Munin]

(Оффтоп)

Интересная задача. Решить не могу, но подпишусь на тему.

[Sonic86]

Не могу понять, в чем состоит задача.
Ну возьмем мы функцию $f(x)=x$ при $x\in [0;1/2]$ и $f(x)=1-x$ при $x\in [1/2;1]$. Пусть абсцисса частицы $p$ зависит от времени как $x=\frac{1}{4}\sin^2 t$, все остальное определяется автоматом.
В результате частицы никогда не встречаются.
И в чем ошибка?
Если же одна из частиц всегда должна двигаться вправо, то имеем одинаковость ординат и уменьшение расстояния между абсциссами (м.б. и не за конечное время) - тогда частицы встретятся за конечное или бесконечное время.
Что я не понимаю здесь?

[NSKuber]

Sonic86 в сообщении #1072904 писал(а):

Что я не понимаю здесь?

Dmitry Tkachenko в сообщении #1072726 писал(а):

Доказать, что частицы могут встретиться.

Какое-то движение частиц не фиксировано, задача состоит в том, чтобы придумать "хорошее". В вашем примере частицы просто могут двигаться навстречу друг другу с равными ординатами, и они встретятся в точке $1/2$. Нужно доказать, что для произвольной непрерывной функции существует движение такое, что они встретятся.

[Dmitry Tkachenko]

Sonic86, предъявлять зависимость абсциссы от времени не нужно. Для случая $f(x)=x, x\in [0,1/2],$ и $f(x)=1-x, x\in [1/2,1],$ частица $p$ поднимается в точку $(1/2, 1/2)$ и частица $e$ поднимается в эту же точку. В задаче считаем, что после хода частицы $p,$ частица $e$ должна шагнуть обязательно на ту же высоту.

[Sonic86]

NSKuber в сообщении #1072911 писал(а):

Нужно доказать, что для произвольной непрерывной функции существует движение такое, что они встретятся.

Ага, а это движение:

Sonic86 в сообщении #1072904 писал(а):

Если же одна из частиц всегда должна двигаться вправо, то имеем одинаковость ординат и уменьшение расстояния между абсциссами (м.б. и не за конечное время) - тогда частицы встретятся за конечное или бесконечное время.

Тогда уже время достижения легко сделать конечным.
Разве это не всегда очевидное решение? Очевидно, что влево частица $p$ всегда не будет двигаться, т.к. $f$ - функция.

[grizzly]

Sonic86 в сообщении #1072904 писал(а):

В результате частицы никогда не встречаются.
И в чем ошибка?

Они и не обязаны встретиться при любом законе движения. Нужно только доказать, что могут.

Sonic86 в сообщении #1072904 писал(а):

Если же одна из частиц всегда должна двигаться вправо, то имеем одинаковость ординат и уменьшение расстояния между абсциссами

Расстояние между абсциссами не обязано в этом случае уменьшаться монотонно. И Вы же не считаете, что "движение строго вправо" всегда будет возможно?

Мне же не совсем понятно, как понимается "движение" в условиях, когда точки вынуждены по дороге преодолевать локально бесконечные участки пути. Если можно как-то прояснить этот момент, был бы признателен.
(Но для меня это несущественное затруднение -- оно легко снимается, если рассматривать в условии только непрерывные функции ограниченной вариации. Я думаю, что задача от этого принципиально не потеряла бы ни в сложности ни в идее.)

[Sonic86]

grizzly в сообщении #1072917 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1072904 писал(а):

Если же одна из частиц всегда должна двигаться вправо, то имеем одинаковость ординат и уменьшение расстояния между абсциссами

Расстояние между абсциссами не обязано в этом случае уменьшаться монотонно. И Вы же не считаете, что "движение строго вправо" всегда будет возможно?

А, я понял!:
Возьмем плавную кривую с 2-я максимумами, один больше другого. Будем двигать частицу, ближайшую к малому максимуму, к этому малому максимуму. Тогда 2-я частица будет двигаться к большому максимуму, но с откатом назад в какой-то промежуток времени.
Это имелось ввиду?

[iancaple]

Sonic86 в сообщении #1072915 писал(а):

Разве это не всегда очевидное решение? Очевидно, что влево частица $p$ всегда не будет двигаться, т.к. $f$ - функция.

Конечно, нет.
$f(x)=x(1+\sin\frac{\pi}x)+(1-x)(3+2\sin\frac{\pi}{1-x})$
Рассмотрим в треугольнике с вершинами $(0,0),(0,1),(1,1)$ открытые непересекающиеся множества $A=\{(x,y)|f(x)<f(y)\}$,$B=\{(x,y)|f(x)>f(y)\}$, на верхнем катете нет точек множества $A$, на левом катете- точек множества $B$, на гипотенузе -ни тех, ни других. Надо доказать, что существует путь из вершины прямого угла на гипотенузу,не пересекающий $A\cup B$

[grizzly]

Sonic86 в сообщении #1072932 писал(а):

Это имелось ввиду?

Да, конечно :)

Предложенную ТС задачу многие пытаются взять нахрапом при попытке решить вот эту. Там бы оно сразу помогло. Вот только я не слышал, чтобы такие нахрап-попытки у кого-нибудь увенчались успехом. Так что задача точно не из простейших.

[Geen]

iancaple в сообщении #1072939 писал(а):

Надо доказать, что существует путь из вершины прямого угла на гипотенузу,не пересекающий $A\cup B$

Такого пути не существует, если существует путь, связывающий катеты и целиком лежащий в $A\cup B$. Разве нет?

[grizzly]

Geen в сообщении #1072958 писал(а):

Такого пути не существует, если существует путь, связывающий катеты и целиком лежащий в $A\cup B$. Разве нет?

Утверждение настолько же верное, насколько и бесполезное :) "Понятно", что такого пути между катетами быть не может.