Задачка дифференциальной топологии

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1072735 писал(а):

maximk
Мне почему-то кажется, что тематика, связанная с графами Кэли вам скучна, поскольку вы не понимаете, для чего это нужно. Так ли это?

Вопрос этот задал в связи с тем, что случайно наткнулся на книгу Громова по гиперболическим группам, где графы Кэли активно используются.

[Blancke_K]

g______d

Вы только не пропустите пожалуйста мое сообщение, которое теперь закрыл мат-ламмер))

[g______d]

Что значит голономии векторного поля в $X$? В $X$ нет никакого векторного поля, оно есть в $\mathbb R\setminus X$.

[Blancke_K]

Ну прошу прощения, число нетривиальных монодромий векторного поля в $\mathbb{R}^{3}\setminus X$. Так тепло или нет?
(Ответ мотивирован одним известным мне сценарием из монопольной физики. Если удалить из $\mathbb{R}^{3}$ прямую $[0,+\infty)$, то существует ровно одна с точностью до калибровочного $U(1)$-преобразования замкнутая, но не точная форма $A:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \times U(1)$. Убирая калибровочный произвол, мы сужаем $\mathbb{R}^{3} \times U(1)$ до $\mathbb{R}^{3}$ и тем самым возвращаясь к вашей задаче, получаем, что $dim(\operatorname{Ker} d/\operatorname{Im} d)=1=n$, где $n=1$ - это количество нетривиальных монодромий $A$ в $\mathbb{R}^{3}\setminus X$).

[Otta]

g______d в сообщении #1072480 писал(а):

Ответа, который я имел в виду, пока никто не дал. Хотелось бы, чтобы его формулировка зависела от как можно меньшего количества данных, от которых ответ не зависит.

А Вы ждете? :)

-- 13.11.2015, 01:34 --

Blancke_K
Тепло, да. Но пусть g______d скажет. )

У меня ответ есть, но он издевательский )) или я подвоха не вижу.

[g______d]

Blancke_K в сообщении #1072774 писал(а):

Ну прошу прощения, число нетривиальных монодромий векторного поля в $\mathbb{R}^{3}\setminus X$. Так тепло или нет?

Ну да, фактически Вы сказали, что это размерность первых когомологий де Рама (т. е. первое число Бетти) пространства $\mathbb R^3\setminus X$. Это сразу же следует из определения и это я имел в виду под "неполным ответом". :)

-- Чт, 12 ноя 2015 14:15:25 --

На самом деле в этот момент дифференциальная геометрия/топология закончилась и началась алгебраическая топология. Далее отговорки "мы не проходили когомологии де Рама" не прокатят.

Сформулирую вопрос так: можно ли упростить этот ответ для какого-нибудь достаточно широкого класса множеств $X$ (например, компактных локально связных или даже компактных подмногообразий)? Я специально не буду уточнять, что значит "упростить", чтобы у задачи был какой-то исследовательский элемент.

Давайте дадим maximk еще один шанс :)

[Blancke_K]

g______d
Когомологии де Рама - это хорошо, но слово "монодромия" мне как-раз таки казалась более полным ответом.
А в чем сложность вопроса-то? Надо выразить ответ через какие-то характеристики $X$? А если оно не многообразие, то какие у него могут быть целочисленные характеристики?

[g______d]

Blancke_K в сообщении #1072872 писал(а):

Надо выразить ответ через какие-то характеристики $X$? А если оно не многообразие, то какие у него могут быть целочисленные характеристики?

No comments :)

Blancke_K в сообщении #1072872 писал(а):

Когомологии де Рама - это хорошо, но слово "монодромия" мне как-раз таки казалась более полным ответом.

А, собственно, что такое монодромия? Вы дали определение, которое в точности совпадает с определением когомологий де Рама. Поэтому разницы нет. Мне кажется, что сейчас разговоры в терминах когомологий общеприняты. А монодромии и т. п. использовались до того, как это стало общепринятым.

[maximk]

Мы не проходили алгебраическую топологию, знания исчерпываются симплициальными комплексами и их гомологиями.
Да, дифференциальная топология ассоциировалась с теми элементами (по большей части), что в книгах Хирша и Уоллеса с Милнором. Остальное относил по большей части к дифференциальной геометрии.

-- 13.11.2015, 06:53 --

мат-ламер, нет, графы Кэли не поэтому скучны мне. Часто возникают вопросы о строении симметрических групп, а я так и не могу прочувствовать структуры множества, состоящих из композиций перестановок (да и в работе над матрицами чёткой интуиции не появилось). На таком начальном уровне есть интуитивное понимание $\mathbb{Z}_n$. Теперь одновременно занялись дробями Фарея. Графы Кэли не бросил пока, обдумываю подзадачи, данные мне и пока нерешенные (не за горами день, когда перестану работать в теории графов Кэли, хотя сначала этот раздел казался мне очень красивым и интересным, но наличие смутного понимания этих задач убирают всякое видение красоты, ибо даже когда строю граф по $S_4$ с несколькими порождающими, времени уходит много, но понимания структуры порождения вершин через перестановки не прибавляется, для меня эти композиции биекций лишь большая трата времени). Но с дробями Фарея мне понравилось возиться, когда решал задачи из задачника Гашкова, Чубарикова, Садовничего. Пока решил простенькую задачку, нашел рекуррентную формулу для длины последовательности Фарея. Думаю, какой бы подзадачей поинтереснее заняться в этом направлении, есть ведь интересные вопросы, тем более, что в это области существуют тонкие связи с гипотезой Римана.
Применений-то можно найти куча, проблема не в этом. Не уверен, что стал бы работать в теории гиперболических групп. В теории рядов Фарея по крайней мере есть шанс, что получу какой-нибудь результат.

[мат-ламер]

maximk в сообщении #1072885 писал(а):

Мы не проходили алгебраическую топологию, знания исчерпываются симплициальными комплексами и их гомологиями.
Да, дифференциальная топология ассоциировалась с теми элементами (по большей части), что в книгах Хирша и Уоллеса с Милнором. Остальное относил по большей части к дифференциальной геометрии.

На случай, если воникнет вновь какой-то интерес к топологии. Как мне кажется, браться за нерешённые задачи мирового уровня пока вам рано. Для начала надо не чураться обдумывания вопросов самых простых, которые относятся даже не к самой топологии, а изучаются в курсе анализа. Возьмите курс анализа (допустим, Зорича) и изучите вопросы, относящиеся к теме "векторный анализ и теория поля" (У Зорича это будут главы 14 и 15). Тщательно изучите их и порешайте все задачи оттуда. После чего вам будет понятен смысл обозначений в предложенной вам задаче. Возможно даже вы сможете разобрать в этой задаче какой-то частный случай (я предлагал подумать над ответом, когда множество X будет состоять из одной точки, или даже из конечного числа точек). Параллельно полезно будет почитать начальные главы по электромагнетизму. Хотя бы будете понимать, откуда всё берётся. А уж после этого приступать к изучению топологии. Иначе эта топология будет восприниматься как некая игра с непонятно откуда взявшимися понятиями.

[g______d]

мат-ламер, о, а вы знаете ответ?

[мат-ламер]

g______d в сообщении #1072892 писал(а):

мат-ламер, о, а вы знаете ответ?

Так вроде вы его уже выложили - в терминах чисел Бетти множества $A=\mathbb R^3 \setminus X$. Если что, то про числа Бетти я ничего не знаю. Прочту - сообщу подробнее. Но пока предварительный ответ. В простом случае, когда множество $A$ имеет тривиальную фундаментальную группу (или нулевое число Бетти) ответ нулевой. Этот случай я предлагал рассмотреть топикстартеру. По-моему он вполне доступен студенту. Когда $X$ - прямая или окружность (или тело, оганиченное тором) - ответ единица. Если $X$ - $n$ окружностей (ну, или шар с соответственным количеством дыр), то ответ - $n$.

[g______d]

мат-ламер в сообщении #1072900 писал(а):

Так вроде вы его уже выложили - в терминах чисел Бетти множества $A=\mathbb R^3 \setminus X$.

Это то, что я имел в виду под неполным ответом.

мат-ламер в сообщении #1072900 писал(а):

Если что, то про числа Бетти я ничего не знаю.

Тогда ладно.

[Munin]

maximk в сообщении #1072885 писал(а):

В теории рядов Фарея по крайней мере есть шанс, что получу какой-нибудь результат.

Гусь отряхнулся и снова начал понты кидать.

мат-ламер в сообщении #1072900 писал(а):

Когда $X$ - прямая или окружность (или тело, оганиченное тором) - ответ единица. Если $X$ - $n$ окружностей (ну, или шар с соответственным количеством дыр), то ответ - $n$.

Это, собственно, и называется числом Бетти (или размерностью группы когомологий де Рама). Вопрос в том, как я понял g______d, каким числом Бетти.

[maximk]

мат-ламер, чтоб интуитивно понимать названия математических понятий, в знании начальных глав по электромагнетизму не вижу необходимости. А как вы воспринимаете математику, если не как игру?