2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение12.11.2015, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
мат-ламер в сообщении #1072735 писал(а):
maximk
Мне почему-то кажется, что тематика, связанная с графами Кэли вам скучна, поскольку вы не понимаете, для чего это нужно. Так ли это?

Вопрос этот задал в связи с тем, что случайно наткнулся на книгу Громова по гиперболическим группам, где графы Кэли активно используются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение12.11.2015, 21:16 


07/07/15
228
g______d

Вы только не пропустите пожалуйста мое сообщение, которое теперь закрыл мат-ламмер))

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение12.11.2015, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Что значит голономии векторного поля в $X$? В $X$ нет никакого векторного поля, оно есть в $\mathbb R\setminus X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение12.11.2015, 21:37 


07/07/15
228
Ну прошу прощения, число нетривиальных монодромий векторного поля в $\mathbb{R}^{3}\setminus X$. Так тепло или нет?
(Ответ мотивирован одним известным мне сценарием из монопольной физики. Если удалить из $\mathbb{R}^{3}$ прямую $[0,+\infty)$, то существует ровно одна с точностью до калибровочного $U(1)$-преобразования замкнутая, но не точная форма $A:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \times U(1)$. Убирая калибровочный произвол, мы сужаем $\mathbb{R}^{3} \times U(1)$ до $\mathbb{R}^{3}$ и тем самым возвращаясь к вашей задаче, получаем, что $dim(\operatorname{Ker} d/\operatorname{Im} d)=1=n$, где $n=1$ - это количество нетривиальных монодромий $A$ в $\mathbb{R}^{3}\setminus X$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение12.11.2015, 23:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
g______d в сообщении #1072480 писал(а):
Ответа, который я имел в виду, пока никто не дал. Хотелось бы, чтобы его формулировка зависела от как можно меньшего количества данных, от которых ответ не зависит.

А Вы ждете? :)

-- 13.11.2015, 01:34 --

Blancke_K
Тепло, да. Но пусть g______d скажет. )

У меня ответ есть, но он издевательский )) или я подвоха не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение12.11.2015, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Blancke_K в сообщении #1072774 писал(а):
Ну прошу прощения, число нетривиальных монодромий векторного поля в $\mathbb{R}^{3}\setminus X$. Так тепло или нет?


Ну да, фактически Вы сказали, что это размерность первых когомологий де Рама (т. е. первое число Бетти) пространства $\mathbb R^3\setminus X$. Это сразу же следует из определения и это я имел в виду под "неполным ответом". :)

-- Чт, 12 ноя 2015 14:15:25 --

На самом деле в этот момент дифференциальная геометрия/топология закончилась и началась алгебраическая топология. Далее отговорки "мы не проходили когомологии де Рама" не прокатят.

Сформулирую вопрос так: можно ли упростить этот ответ для какого-нибудь достаточно широкого класса множеств $X$ (например, компактных локально связных или даже компактных подмногообразий)? Я специально не буду уточнять, что значит "упростить", чтобы у задачи был какой-то исследовательский элемент.

Давайте дадим maximk еще один шанс :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 02:01 


07/07/15
228
g______d
Когомологии де Рама - это хорошо, но слово "монодромия" мне как-раз таки казалась более полным ответом.
А в чем сложность вопроса-то? Надо выразить ответ через какие-то характеристики $X$? А если оно не многообразие, то какие у него могут быть целочисленные характеристики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Blancke_K в сообщении #1072872 писал(а):
Надо выразить ответ через какие-то характеристики $X$? А если оно не многообразие, то какие у него могут быть целочисленные характеристики?


No comments :)

Blancke_K в сообщении #1072872 писал(а):
Когомологии де Рама - это хорошо, но слово "монодромия" мне как-раз таки казалась более полным ответом.


А, собственно, что такое монодромия? Вы дали определение, которое в точности совпадает с определением когомологий де Рама. Поэтому разницы нет. Мне кажется, что сейчас разговоры в терминах когомологий общеприняты. А монодромии и т. п. использовались до того, как это стало общепринятым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 05:43 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Мы не проходили алгебраическую топологию, знания исчерпываются симплициальными комплексами и их гомологиями.
Да, дифференциальная топология ассоциировалась с теми элементами (по большей части), что в книгах Хирша и Уоллеса с Милнором. Остальное относил по большей части к дифференциальной геометрии.

-- 13.11.2015, 06:53 --

мат-ламер, нет, графы Кэли не поэтому скучны мне. Часто возникают вопросы о строении симметрических групп, а я так и не могу прочувствовать структуры множества, состоящих из композиций перестановок (да и в работе над матрицами чёткой интуиции не появилось). На таком начальном уровне есть интуитивное понимание $\mathbb{Z}_n$. Теперь одновременно занялись дробями Фарея. Графы Кэли не бросил пока, обдумываю подзадачи, данные мне и пока нерешенные (не за горами день, когда перестану работать в теории графов Кэли, хотя сначала этот раздел казался мне очень красивым и интересным, но наличие смутного понимания этих задач убирают всякое видение красоты, ибо даже когда строю граф по $S_4$ с несколькими порождающими, времени уходит много, но понимания структуры порождения вершин через перестановки не прибавляется, для меня эти композиции биекций лишь большая трата времени). Но с дробями Фарея мне понравилось возиться, когда решал задачи из задачника Гашкова, Чубарикова, Садовничего. Пока решил простенькую задачку, нашел рекуррентную формулу для длины последовательности Фарея. Думаю, какой бы подзадачей поинтереснее заняться в этом направлении, есть ведь интересные вопросы, тем более, что в это области существуют тонкие связи с гипотезой Римана.
Применений-то можно найти куча, проблема не в этом. Не уверен, что стал бы работать в теории гиперболических групп. В теории рядов Фарея по крайней мере есть шанс, что получу какой-нибудь результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 06:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
maximk в сообщении #1072885 писал(а):
Мы не проходили алгебраическую топологию, знания исчерпываются симплициальными комплексами и их гомологиями.
Да, дифференциальная топология ассоциировалась с теми элементами (по большей части), что в книгах Хирша и Уоллеса с Милнором. Остальное относил по большей части к дифференциальной геометрии.

На случай, если воникнет вновь какой-то интерес к топологии. Как мне кажется, браться за нерешённые задачи мирового уровня пока вам рано. Для начала надо не чураться обдумывания вопросов самых простых, которые относятся даже не к самой топологии, а изучаются в курсе анализа. Возьмите курс анализа (допустим, Зорича) и изучите вопросы, относящиеся к теме "векторный анализ и теория поля" (У Зорича это будут главы 14 и 15). Тщательно изучите их и порешайте все задачи оттуда. После чего вам будет понятен смысл обозначений в предложенной вам задаче. Возможно даже вы сможете разобрать в этой задаче какой-то частный случай (я предлагал подумать над ответом, когда множество X будет состоять из одной точки, или даже из конечного числа точек). Параллельно полезно будет почитать начальные главы по электромагнетизму. Хотя бы будете понимать, откуда всё берётся. А уж после этого приступать к изучению топологии. Иначе эта топология будет восприниматься как некая игра с непонятно откуда взявшимися понятиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 07:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
мат-ламер, о, а вы знаете ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
g______d в сообщении #1072892 писал(а):
мат-ламер, о, а вы знаете ответ?

Так вроде вы его уже выложили - в терминах чисел Бетти множества $A=\mathbb R^3 \setminus X$. Если что, то про числа Бетти я ничего не знаю. Прочту - сообщу подробнее. Но пока предварительный ответ. В простом случае, когда множество $A$ имеет тривиальную фундаментальную группу (или нулевое число Бетти) ответ нулевой. Этот случай я предлагал рассмотреть топикстартеру. По-моему он вполне доступен студенту. Когда $X$ - прямая или окружность (или тело, оганиченное тором) - ответ единица. Если $X$ - $n$ окружностей (ну, или шар с соответственным количеством дыр), то ответ - $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 07:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
мат-ламер в сообщении #1072900 писал(а):
Так вроде вы его уже выложили - в терминах чисел Бетти множества $A=\mathbb R^3 \setminus X$.


Это то, что я имел в виду под неполным ответом.

мат-ламер в сообщении #1072900 писал(а):
Если что, то про числа Бетти я ничего не знаю.


Тогда ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
maximk в сообщении #1072885 писал(а):
В теории рядов Фарея по крайней мере есть шанс, что получу какой-нибудь результат.

Гусь отряхнулся и снова начал понты кидать.

мат-ламер в сообщении #1072900 писал(а):
Когда $X$ - прямая или окружность (или тело, оганиченное тором) - ответ единица. Если $X$ - $n$ окружностей (ну, или шар с соответственным количеством дыр), то ответ - $n$.

Это, собственно, и называется числом Бетти (или размерностью группы когомологий де Рама). Вопрос в том, как я понял g______d, каким числом Бетти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка дифференциальной топологии
Сообщение13.11.2015, 16:25 
Аватара пользователя


04/06/14
623
мат-ламер, чтоб интуитивно понимать названия математических понятий, в знании начальных глав по электромагнетизму не вижу необходимости. А как вы воспринимаете математику, если не как игру?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 136 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group