Помогите найти предел

[Atom001]

Здравствуйте!
Решаю д/з. Решил абсолютно все пределы, кроме одного:

$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}^{}\frac{\ln\sin x}{(2x-\pi)^2}$$

Синус, стоящий под логарифмом, шепчет о первом замечательном, но попытки распутать пример с его помощью, увы, к успеху не приводят. Мешается логарифм.
В общем вот как я действую:

Сделать замену $y=2x-\pi \Rightarrow y\to 0; (x=\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})$

$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}^{}\frac{\ln\sin x}{(2x-\pi)^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\sin (\frac{y}{2}+\frac{\pi}{2})}{y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\cos \frac{y}{2}}{y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln \sqrt{1-\sin^2\frac{y}{2}}}{y^2}\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln \sqrt{1-\frac{4y^2\sin^2\frac{y}{2}}{4y^2}}}{y^2}=$$

$$=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln \sqrt{1-\frac{y^2}{4}}}{y^2}$$

И дальше я не знаю куда идти. Как избавиться от логарифма?

[whitefox]

Свойства натурального логарифма.

[Brukvalub]

Atom001 в сообщении #1072646 писал(а):

Как избавиться от логарифма?

Заменить логарифм на эквивалентную ему бесконечно малую величину.

[Atom001]

Brukvalub в сообщении #1072663 писал(а):

Заменить логарифм на эквивалентную ему бесконечно малую величину.

$$\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}}{y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\left(1+\frac{\sqrt{4-y^2}}{2}\right)}{y^2\ln1}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\sqrt{4-y^2}}{2y^2\ln1}$$

Получается новая неопределённость. Как теперь с ней расправиться?

[RIP]

Atom001 в сообщении #1072646 писал(а):

$\lim_{y\to0}\frac{\ln \sqrt{1-\frac{4y^2\sin^2\frac{y}{2}}{4y^2}}}{y^2}=\lim_{y\to0}\frac{\ln \sqrt{1-\frac{y^2}{4}}}{y^2}$$

Вот этот переход меня смущает. Каким образом Вы избавились от $\dfrac{4\sin^2\frac{y}{2}}{y^2}$? Я своих студентов постоянно за это ругаю, а они упорно продолжают совершать эту ошибку. Пользуясь такой логикой, можно получить

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x-x\cdot\frac{\sin x}x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0,$$

хотя на самом деле предел равен $\dfrac16$.

[oniksofers]

Atom001 в сообщении #1072672 писал(а):

Получается новая неопределённость. Как теперь с ней расправиться?

$\ln{x^{p}}=...$?
А да переход там сделан неверно

[Otta]

Atom001 в сообщении #1072672 писал(а):

$$\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}}{y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\left(1+\frac{\sqrt{4-y^2}}{2}\right)}{y^2\ln1}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\sqrt{4-y^2}}{2y^2\ln1}$$

Получается новая неопределённость. Как теперь с ней расправиться?

Пойти в 11 класс. Как Вы сдали экзамен, тут ни буквы без ошибки нет.

[Atom001]

RIP
Почему Вы приравняли последний предел нулю? Там ведь неопределённость ноль-на-ноль.

oniksofers в сообщении #1072675 писал(а):

$\ln{x^{p}}=...$?
А да переход там сделан неверно

Извините, я не могу понять. О чём Вы говорите?

Otta в сообщении #1072680 писал(а):

Как Вы сдали экзамен, тут ни буквы без ошибки нет.

Согласен. Свойство перепутал. Сейчас подумаю, как исправиться.

[RIP]

Atom001 в сообщении #1072699 писал(а):

Почему Вы приравняли последний предел нулю? Там ведь неопределённость ноль-на-ноль.

Нет там никакой неопределённости. Под пределом стоит тождественно нулевая функция.

По поводу логарифма: подумайте, нельзя ли как-нибудь избавиться от знака корня.

[Atom001]

RIP в сообщении #1072702 писал(а):

Нет там никакой неопределённости. Под пределом стоит тождественно нулевая функция.

То есть ноль, делённый на БМВ есть ноль?

Собственно вот, что получилось выжать:

$$\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\sqrt{1-\frac{y^2}{4}}}{y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln\frac{4-y^2}{4}}{2y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{\ln(1+3-y^2)-\ln 4}{2y^2}=\lim\limits_{y\to 0}^{}\frac{y^2-3-\ln 4}{2y^2}$$

Дальше сообразить не могу.

[Otta]

Atom001
Бога ради, положите предел на место. Не трогайте его. На самую первую ошибку Вам RIP указал, начинайте заново.
И эквивалентности выучите. Вместе с базами.

[Atom001]

Otta
Хорошо. Вертаем взад.
Верно ли я выбрал замену?

[Otta]

Нормально. До $\cos y/2$ включительно.

[Atom001]

Otta в сообщении #1072712 писал(а):

И эквивалентности выучите.

Учу. Я только сегодня про них узнал, ещё не порешал задачи для закрепления.

Otta в сообщении #1072712 писал(а):

Вместе с базами.

Что есть базы?

-- 12.11.2015, 23:50 --

Otta в сообщении #1072714 писал(а):

Нормально. До $\cos y/2$ включительно.

Хорошо.

[Otta]

Atom001 в сообщении #1072715 писал(а):

Что есть базы?

Например, писать, что $\sin x/x\to 0$ негоже, не указывая, куда стремится $x$. Скорее всего, Вы при этом ошибетесь. Вот это самое "куда стремится аргумент функции" писать надо.