Устойчивое равновесие кубика в воде.

[Amw]

Pro Engineer

[Aritaborian]

Спасибо.

[Amw]

Sender в сообщении #1071612 писал(а):

Для полного счастья не хватает моделирования малого поворота кубика, плавающего на ребре, вокруг оси, перпендикулярной этому ребру.

Не совсем понял... Вот кубик, плавающий с вертикальной главной осью, т.е. вершиной вверх. Вроде бы устойчиво...

[Sender]

Amw в сообщении #1072352 писал(а):

Не совсем понял...

Имелся в виду кубик, плавающий так:
,
Любопытно было бы взглянуть на устойчивость такого положения равновесия в другой плоскости, перпендикулярной плоскости этого рисунка.

[Geen]

Sender в сообщении #1072392 писал(а):

Любопытно было бы взглянуть на устойчивость такого положения равновесия в другой плоскости, перпендикулярной плоскости этого рисунка.

Не устойчиво.

[Amw]

Sender в сообщении #1072392 писал(а):

Любопытно было бы взглянуть на устойчивость такого положения равновесия в другой плоскости, перпендикулярной плоскости этого рисунка.

[Sender]

Geen в сообщении #1072430 писал(а):

Не устойчиво.

А вот рисунок говорит, что устойчиво.

[Amw]

Sender в сообщении #1072472 писал(а):

А вот рисунок говорит, что устойчиво.

Да нет... Повернули на 20° по часовой стрелке и центр выталкивающей силы сместился чуть влево от вертикали (проходящей через центр кубика) - то есть кубик будет дальше опрокидываться.

[Sender]

Точно, должно быть, спать уже пора . Впрочем, двадцатиградусное отклонение - не такое уж маленькое, боюсь, вы опасно приблизились к другому положению равновесия, тому, что с вертикальной главной диагональю.

[Geen]

Не доделал, времени не хватает угол расписать...

...
Ну давайте возьмём куб относительной плотности $\rho$ и посмотрим на устойчивость в разных положениях...
Заметим, что объём погружённой части всегда будет $\rho a^3$. "Высоту" будем отсчитывать от нижней точки куба.

Рассмотрим куб на грани.
Для квадрата момент инерции относительно любой оси (через центр) составляет $a^4/12$ - метацентрический радиус будет $\frac{a}{12\rho}$.
Высота метацентра будет $\frac{a\rho}{2}+\frac{a}{12\rho}$, а высота ЦТ - $a/2$.
Куб будет устойчив, если $\rho$ вне диапазона $\frac{1}{2}(1\pm\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Рассмотрим куб на ребре.
Его ЦТ будет на расстоянии $a/\sqrt{2}$ от нижней точки.
Пока считаем, что $\rho<1/2$.
Пусть он погружён на глубину $b$. Объём погружённой части будет $b^2a$ (то есть $b=a\sqrt{\rho}$). Ватерлиния образует прямоугольник со сторонами $a$ и $2b$. Момент инерции минимален вдоль оси параллельной длинной стороне.
Если $b<a/2$, то он будет $2/3 ab^3=2/3a^4\rho^{3/2}$, метацентрический радиус $2/3a\sqrt{\rho}$, высота метацентра - $2/3b+2/3a\sqrt{\rho}=4/3a\sqrt{\rho}$. Устойчивость будет, если $\rho>9/32$, что вступает в противоречие с ограничением $b<a/2$.
Если $b>a/2$, то момент инерции будет $a^3b/6=a^4/6\sqrt{\rho}$, метацентрический радиус $\frac{a}{6\sqrt{\rho}}$, высота метацентра $2/3a\sqrt{\rho}+\frac{a}{6\sqrt{\rho}}$. Откуда получаем $\rho>1/2$, что "немного" конфликтует с начальным предположением о $\rho$ (то есть равновесия, вообще говоря нет, кроме случая $\rho=1/2$ когда оно "безразличное").
Пусть теперь $\rho>1/2$, а $b$ будем отсчитывать от верхней точки. Объём погружённой части будет $a^3-b^2a$ (то есть $b=a\sqrt{1-\rho}$). Если я не ошибся, то ЦП будет находиться ниже ЦТ на расстояние x=$a\frac{1-\rho}{\rho}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{3}\sqrt{1-\rho}\right)$. Если $b>a/2$, то метацентрический радиус будет $\frac{a\sqrt{1-\rho}}{6\rho}$, что даёт ограничение $\rho<1/2$. Если $b<a/2$, то - $2/3a(1-\rho)^{3/2}/\rho$ и аналогичное конфликтующее ограничение.
То есть, у куба на ребре равновесия нет.

Теперь рассмотрим угол....

[Skeptic]

Monster в сообщении #1069275 писал(а):

AnatolyBa
это понятно. Если отвечать на вопрос, какое из двух описанных состояний более устойчивое, то какой будет ответ?
Из моих рассуждений получается, что первое состояние. Однако и в официальном ответе, и из общей интуиции кажется, что это неправда.

"Официальное" решение задачи содержится в Г.В.Меледин. Физика в задачах. Экзаменационные задачи с решениями. Москва "Наука" 1989 г. Задача 1.173.
.

[Skeptic]

Есть критическое значение $\rho\approx 0,27$, определяющее положение равновесия кубика. При меньших значениях кубик плавает горизонтально, при больших - вершиной вверх.

[Geen]

Skeptic в сообщении #1072625 писал(а):

Есть критическое значение $\rho\approx 0,27$, определяющее положение равновесия кубика. При меньших значениях кубик плавает горизонтально, при больших - вершиной вверх.

У меня получается, что, например, при $\rho=1/5$ (так же как и при $4/5$) устойчивы будут оба положения...

[Neos]

Monster, посмотрите тему "устойчивость судов". Кроме точки "центр тяжести" существует точка "центр давления". Силы, действующие на эти точки образуют момент сил, что и определяет устойчивость.

[Geen]

Skeptic в сообщении #1072533 писал(а):

Monster в сообщении #1069275 писал(а):

AnatolyBa
это понятно. Если отвечать на вопрос, какое из двух описанных состояний более устойчивое, то какой будет ответ?
Из моих рассуждений получается, что первое состояние. Однако и в официальном ответе, и из общей интуиции кажется, что это неправда.

"Официальное" решение задачи содержится в Г.В.Меледин. Физика в задачах. Экзаменационные задачи с решениями. Москва "Наука" 1989 г. Задача 1.173.
.

Там брусок с квадратным сечением (задача 1.173), а тут кубик...