О роли наблюдателя в КМ

[AlexDem]

Отсюда. Пока прошу сильно не выражаться, если только возникнут замечания или вопросы по ходу.

Как известно, копенгагенская интерпретация квантовой механики предполагает, что состояние системы может меняться в результате двух процессов:

• Процесс-1: обратимая унитарная эволюция;
• Процесс-2: необратимый процесс измерения.

Принципиальная разница между ними состоит в том, что унитарная эволюция обратима, в то время как процесс измерения необратим, т.е. после измерения текущее состояние системы нам известно, а вот предыдущее, что было до процесса измерения, - не всегда.

Строго в рамках копенгагенской интерпретации в настоящее время развивается теория декогеренции, которая позволяет рассмотреть процесс измерения в деталях: как состояние измеряемой системы запутывается с окружением, как при этом ослабляются квантовые корреляции, существовавшие в системе, и она приобретает классические черты (происходит декогеренция окружением). Рассматриваются нечёткие квантовые измерения, жертвующие точностью, но позволяющие возмущать состояние системы не так заметно. Описан эффект квантового ластика, когда уже после проведённого измерения микродатчиком когерентное состояние системы восстанавливается, если при этом состояние датчика восстанавливается тоже.

Несмотря на то, что теория декогеренции даёт возможность рассмотреть процесс измерения в деталях, позволяет увидеть как у квантовой системы появляются классические черты, однако один последний этап - момент выбора из множества альтернатив, она не объясняет. Другими словами, вместо системы с квантовыми корреляциями мы можем получить почти классическую систему без оных, но состояние этой системы будет допускать множество вариантов значения, которое будет получено при её измерении - парадокс Шрёдингеровской кошки. Именно поэтому сверху пытаются прикрутить интерпретации Эверетта с множеством миров - тогда бы в каждом из них какая-то версия нас лицезрела бы свой собственный результат. В одном из миров полудохлый кот был бы жив, в другом - мертв. И тогда обратимость этого мультиверса в целом была бы соблюдена.

Эффект квантового ластика - это, вообще говоря, очень интересный результат. Необратимый процесс измерения оказывается обратимым, если рассматривать измеряемую систему вместе с микроскопическим прибором как одну замкнутую систему. А её эволюция обратима.

Вопрос: Существует ли Процесс-2, необратимое измерение, вообще? Или на каком-то этапе мезоскопичности прибора он перестаёт быть квантовым и превращается в классический? Последнее указывало бы на границы применимости КМ, её ограниченность рамками микромира.

Предположение: Процесс-2 как физическое явление существовать не обязан.
(сформулируем в мягкой форме, ибо показать несуществование не смогём)

Будем рассматривать наблюдателя как некоторое устройство обработки сигналов, чёрный ящик, которому можно подать что-то на вход. Эта система - нелинейная, поскольку является системой с памятью.

Как описать эволюцию нелинейной системы в унитарной квантовой механике? Очевидно, что такая система должна быть диссипативной, взаимодействующей с окружением и рассеивающей в это окружение энергию или вещество. По этому поводу есть статья: Менский "Диссипация и декогеренция квантовых систем", однако там изложен статистический подход с использованием матрицы плотности, что уже связано с измерением, а нам было бы интересно задать эволюцию системы точно - как процесс изменения её состояния, заданного вектором состояния. Мы можем описать состояние системы вектором, если обладаем полной информацией о ней и если эта система после измерения не взаимодействовала с окружением. Дискретизируем время настолько, чтобы учесть каждый излучённый или поглощённый квант, тогда система на промежутке между такими событиями может рассматриваться в качестве замкнутой.

Тогда мы можем обозначить мгновенное состояние системы вектором $|S\rangle$. Пусть сигнал описывается вектором $|x\rangle$, нам будет удобно положить его разложимым в произведение $|x\rangle = |z\rangle|\alpha\rangle$, где $|z\rangle$ - значимая часть, а $|\alpha\rangle$ - добавочка. Унитарная эволюция описывалась бы в виде:

$$|S'\rangle|x'\rangle = U|S\rangle|x\rangle,$$

но поскольку система у нас диссипативная, то запишем иначе:

$$|S'\rangle|z'\rangle|\alpha\rangle = U|S\rangle|x\rangle.$$

- то есть мы отбрасываем добавочный член $|\alpha\rangle$ в окружающую среду, выделяя из сигнала только значимую часть $|z\rangle$.

Естественно предположить, что преобразование $U: |S\rangle|x\rangle \to |S'\rangle|z'\rangle$ нелинейно.

Однако в рамках КМ невозможно задать нелинейный оператор физически осмысленным способом. То есть - математически мы можем задать любой нелинейный оператор на векторах, но он не будет иметь никакого физического смысла в рамках формализма КМ. Здесь я предоставил оператор $F$, который в классике отвечает за нелинейность - диссипативные системы, то есть системы, каким либо образом рассеивающие энергию, как раз и являются нелинейными в классике. А в квантовой механике мы видим замечательную картину: в той области, где поведение системы можно описать каким-либо линейным оператором, оператор $F$ определён, а в области, где в классике была бы нелинейность - мы посчитать его не можем. Перепишем всё здесь.

===

Пусть система $c = a \otimes b = \frac{1}{\sqrt 2}(0\ 0\ 1\ 1)'$ состоит из двух невзаимодейсвующих подсистем $a = (0\ 1)'$ и $b = \frac{1}{\sqrt 2}(1\ 1)'$. Пусть в процессе эволюции часть $b$ улетела (система открытая) без всякого взаимодействия с $a$, в то время как $a$ не изменилась (оператор эволюции для неё - тождественный). Для описания ситуации предоставим оператор $F$, такой что $a = F(c)$, возвращающий первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует. В противном случае считаем оператор $F$ не определённым на состоянии $c$.

Исходное состояние $c$ можно переписать в виде $c = d + g$:

$$\frac{1}{\sqrt 2}(0\ 0\ 1\ 1)' = \frac{1}{\sqrt 2}\Big((0\ 0\ 0\ 1)' + (0\ 0\ 1\ 0)'\Big)$$

Для линейного оператора должно быть:

$$F(\alpha d + \alpha g) = \alpha F(d) + \alpha F(g)$$

Допустим, $F$ - линейный, тогда при $\alpha = \sqrt 2$ получается:

$$F(\sqrt 2 d + \sqrt 2 g) = F(\sqrt 2 c) = \sqrt 2 F(c) = \sqrt 2 a$$

однако:

$$\sqrt 2 F(d) + \sqrt 2 F(g) = F(\sqrt 2 d) + F(\sqrt 2 g) = a + a = 2a$$

Противоречие. Следовательно $F$ - нелинейный.

Ту же ситуацию мы можем описать унитарным образом, просто отбрасывая подсистему $b$:

$$a' = U(a)$$

но только в том случае, когда подсистемы $a$ и $b$ не взаимодействуют.

===

Что это означает для нас. В качестве системы $a$ возьмём $|S\rangle|z\rangle$ в данных выше обозначениях. Тогда $|S\rangle|z\rangle = F|S\rangle|x\rangle$, но вычислить этот оператор удаётся только тогда, когда $|\alpha\rangle$ пролетает без всякого взаимодействия с остальной частью рассматриваемой системы.

<чё-то лошадка устала>

[g______d]

AlexDem в сообщении #1072165 писал(а):

Для описания ситуации предоставим оператор $F$, такой что $a = F(c)$, возвращающий первый сомножитель разложения вектора в тензорное произведение, когда оно существует.

Не бывает такого оператора. Например, потому что $a=F(a\otimes(10b))=((10a)\otimes b)=10a$.

[AlexDem]

В КМ разложение однозначно, т.к. вектора нормированы. В противном случае была бы неопределённость разбиения системы на подсистемы. Однако раз я там на константу умножал, могла получиться ерунда, действительно. Я подумаю, спасибо.

(Про фазовый множитель)

Это тоже не беда, ибо волновая функция и операторы определяются с точностью до него. Однако насчёт своих выкладок я не уверен, хотя даже если $F$ не существует, то вроде в целом не беда.

[g______d]

AlexDem в сообщении #1072181 писал(а):

В КМ разложение однозначно, т.к. вектора нормированы.

Нет. Даже над $\mathbb R$ есть знак, а над $\mathbb C$ есть фазовый множитель.

[g______d]

AlexDem в сообщении #1072181 писал(а):

Это тоже не беда, ибо волновая функция и операторы определяются с точностью до него.

Это глупости. В определенных ситуациях можно избежать одного фазового множителя, но не более.

[AlexDem]

Разложение системы на подсистемы в КМ д.б. однозначно, в противном случае вектор состояния не давал бы полной информации о системе. Я сейчас ищу, где бы это проговаривалось явно.

g______d в сообщении #1072198 писал(а):

В определенных ситуациях можно избежать одного фазового множителя, но не более.

Пока был бы признателен за пример, чтобы не терять времени (я не совсем понял Вашу мысль).

[Ilja]

AlexDem в сообщении #1072165 писал(а):

Вопрос: Существует ли Процесс-2, необратимое измерение, вообще? Или на каком-то этапе мезоскопичности прибора он перестаёт быть квантовым и превращается в классический? Последнее указывало бы на границы применимости КМ, её ограниченность рамками микромира.

Предположение: Процесс-2 как физическое явление существовать не обязан.

Это известно. Есть интерпретации КТ, в которых нету коллапса. Одна из них many worlds, но это конечно маразм, и ничего не может доказать. Но есть еще более приличные интерпретации как Бомовская. Она обойдется без коллапса.

Конечно, любая интерпретация без коллапса сталкивается с проблемы кошки Шредингера. Волновая функция кошки содержит и дохлую и живую кошки. А кошка все-таки (надеемся) живая, но где же она в самой интерпретации? В Бомовской интерпретации это не проблема, там есть еще и сама кошка, и для нее имеется еще и уравнение движения.

[AlexDem]

Я никакой новой интерпретации не излагаю, мы остаёмся в рамках копенгагенской (теория декогеренции тоже в ней). Правда, я не знаю, к чему придём, т.к. готового текста у меня нет, есть какие-то соображения, которые я тут и постараюсь во что-нибудь оформить.

А Бомовская интерпретация, как пишут, требует действия на расстоянии - это не наш путь.

[g______d]

AlexDem в сообщении #1072285 писал(а):

Пока был бы признателен за пример, чтобы не терять времени (я не совсем понял Вашу мысль).

Ну вы тут сказали, что

AlexDem в сообщении #1072181 писал(а):

Это тоже не беда, ибо волновая функция и операторы определяются с точностью до него.

Это не так. Как только у вас есть хотя бы два состояния и вы захотели их сложить, вы не можете произвольно выбирать фазовый множитель у каждого из них.

[AlexDem]

Я не утверждал, что можно произвольно комбинировать функции в разных базисах, это у меня такое ощущение, что Вы предлагаете на основании разных значений $F$ в разных базисах считать его многозначным. Поэтому и попросил пример.

Вот цитата из Мессиа "Квантовая механика", т.1 §15, пока не нашёл конкретно про однозначность тензорного произведения:

Цитата:

Базисная система, вообще говоря, не единственна. Степень произвола при ее выборе обсуждалась в §9. Условимся считать тождественными две системы, составляющие функции которых отличаются только фазой и (в случае непрерывного спектра) нормировкой. При этом условии базисная система наблюдаемой А единственна, если все собственные значения невырождены.

[g______d]

AlexDem в сообщении #1072549 писал(а):

Вот цитата из Мессиа "Квантовая механика",

Это здесь ни при чём.

Вы поняли, что я сказал? Я сказал, что в квантовой механике утверждение о том, что состояния определены с точностью до фазового множителя, неверно.

[AlexDem]

Нет, почему, сейчас я Вас понял. Сами сделали утверждение, сами заявили о его ложности. Прелестно.

[AlexDem]

Так, на основе этого:

AlexDem в сообщении #1072285 писал(а):

Разложение системы на подсистемы в КМ д.б. однозначно, в противном случае вектор состояния не давал бы полной информации о системе.

- постулируем, что если $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$, то $\psi_1, \psi_2$ определены однозначно. Боум в "Квантовая механика. Основы и приложения" на с.186 пишет:

Цитата:

Используя понятие прямого произведения пространств, мы можем сформулировать фундаментальное предположение относительно физической комбинации двух квантовомеханических систем:

IVa. Пусть одна физическая система описывается алгеброй операторов $\mathscr A_1$ в пространстве $R_1$, а другая физическая система - алгеброй $\mathscr A_2$ в $R_2$. Пространство прямого произведения $R_1 \otimes R_2$ является тогда пространством физических состояний физической комбинации этих двух систем, а соответствующие наблюдаемые являются операторами, в пространстве прямого произведения. <...>

Подчеркнем еще раз, что IVa является фундаментальным предположением квантовой механики и может быть оправдано только существованием соответствующих физических систем.

И продолжим.

[Munin]

AlexDem в сообщении #1072746 писал(а):

постулируем, что если $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$, то $\psi_1, \psi_2$ определены однозначно.

Если это тензорное произведение (в математике принято писать $|\psi_1\rangle\otimes|\psi_2\rangle$), то нет, неоднозначно. Что вам уже сказали. Любой скалярный множитель может быть добавлен и туда и сюда, в том числе и $e^{i\varphi}.$

[AlexDem]

Т.е. Вы утверждаете, что вектор состояния не определяет однозначно состав квантовой системы? Другими словами, что одним и тем же вектором состояния могут описываться физически различные системы?

P.S. (В математике вообще принято писать $a \otimes b$)