Классы вычетов, идеалы: уточнить

[shukshin]

Найти все идеалы в кольце ${Z}/{6Z}$(классы вычетов по модулю 6)
понятно, что это будут:
-тривиальные идеалы: само кольцо и кольцо, содержащее только нулевой класс.
-идеалы, порожденные нетривиальными делителями (свойства идеала очевидно выполнены):
$\{[0], [2], [4]\}$
$\{[0], [3]\}$

Как просто доказать, что других идеалов тут нет?

[Sonic86]

Ваши попытки решения?

[shukshin]

Sonic86,
пусть p - не делитель 6 - образует идеал кратных p в этом кольце, тогда $p = 4$ или $p = 5$.
$[3][5] = [3 \cdot 5] = [3]$ и $[2][4] = [2 \cdot 4] = [2]$, лежит в этом идеале.
ну ладно это для 6 так просто получилось, перебором, а если модуль побольше взять?

[Xaositect]

А откуда Вы знаете, что в этом кольце нет других идеалов, которые не порождаются одним элементом?

[Sonic86]

Вам надо перебирать не делители модуля, а числа, не взаимно простые с ним.
Пусть $a$ - число, $m$ - модуль. Когда существует $a^{-1}$ по модулю $m$. Чему равен $(a)$, если $a$ обратим?

[AV_77]

Зачем чего-то перебирать? Идеал --- это подгруппа аддитивной группы кольца вычетов, которая циклична. А описание подгрупп циклической группы должно быть известно.

[Sonic86]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #1072094 писал(а):

Зачем чего-то перебирать? Идеал --- это подгруппа аддитивной группы кольца вычетов, которая циклична. А описание подгрупп циклической группы должно быть известно.

Не ну как, мне чтоб все идеалы найти достаточно перебрать множество из 2-х элементов. Можно даже всего из одного Понятно в общем. Я просто смотрю, что ТС берет именно делители, вот и написал.

[shukshin]

Sonic86, мы можем перевести обратимые элементы - в классы содержащие единицу домножив их на обратные вычеты -> все обратимые элементы могут принадлежать только к тривиальному идеалу - самому кольцу вычетов по модулю.

-- 11.11.2015, 01:03 --

Sonic86
есть чувство, что не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД, суть делитель модуля.
не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД - это нужно строго показать.

[Sonic86]

shukshin в сообщении #1072189 писал(а):

есть чувство, что не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД, суть делитель модуля.
не взаимно простые с модулем элементы можно перевести в НОД - это нужно строго показать.

Именно так. Используйте алгоритм Евклида.

[shukshin]

Sonic86
AV_77
Xaositect
знаю, что немного надоедлив, но может мне кто-нибудь прояснить, почему все идеалы в этом кольце главные?

[Xaositect]

Ну например, потому что это факторкольцо $\mathbb{Z}$. Идеалы $R/I$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с идеалами $R$, которые содержат $I$.

[shukshin]

Xaositect
а рассуждение вроде:
пусть у нас не один порождающий, возьмем их НОД - он будет единственным порождающим - предположение о том, что порождающий не один неверно.
как доказать, что НОД тоже лежит в идеале?

[AV_77]

shukshin в сообщении #1073705 писал(а):

как доказать, что НОД тоже лежит в идеале?

Для начала надо выяснить, что такое идеал. После этого ответ будет очевиден.

PS Вы циклические группы изучали? Обычно их перед теорией колец рассматривают.

[shukshin]

AV_77
думаю, что идеал - это подкольцо этого кольца, замкнутое относительное умножения на элемент кольца.
не очевидно.
множество всех линейных комбинаций с коэфф. из кольца - лежит в идеале. это знаю.

циклические группы изучали, верно.

[AV_77]

shukshin в сообщении #1073730 писал(а):

множество всех линейных комбинаций с коэфф. из кольца - лежит в идеале. это знаю.

Ну так НОД и является линейной комбинацией. Что еще-то нужно?

shukshin в сообщении #1073730 писал(а):

циклические группы изучали, верно.

Тогда вы должны знать, что все подгруппы циклической группы циклические. А идеал, как и подкольцо, обязательно является подгруппой аддитивной группы кольца.