Вторая производная

[мат-ламер]

Otta в сообщении #1070609 писал(а):

Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

Otta в сообщении #1070602 писал(а):

Какая разница, с какими комментариями Вы к точке прибавляете дифференциальную 1-форму. :(

Простите, а что, вы считаете, что $dx$ в данном контексте - дифференциальная форма? Хорошо, а если мы напишем для второго дифференциала такое выражение $d^2f=dxdy$, то справа тоже будет дифференциальная форма? По-моему, дифференциальная форма - это что-то другое. Не могли бы прокомментировать?

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1070805 писал(а):

Простите, а что, вы считаете, что $dx$ в данном контексте

В данном контексте $dx$ вообще быть не должно, и уж коли Вы его туда впихнули, то Вы и расскажите, что это такое. А так это 1-форма, да. Что-то не так?

-- 08.11.2015, 11:41 --

Munin
:) Забавная mind game. Надо будет как-нить добраться на досуге, спасибо.

[мат-ламер]

Otta в сообщении #1070609 писал(а):

Вы знаете, таки $\Delta x$ и $dx$ - две большие разницы. Путать их не положено.

Этого я не знал. Более того, в некоторых учебниках говорится прямо противоположное (Фихтенгольц, п. 104). Дифференциал зависимой переменной есть форма возможно от дифференциалов независимой переменной, а возможно и от других символов. Форма от дифференциалов не есть дифференциальная форма. Например, второй дифференциал есть симметричная форма, и поэтому $dxdy = dydx$. Дифференциальная форма есть антисимметричная форма(относительно внешнего произведения) , и поэтому $dx\wedge dy = -dy\wedge dx$.

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1071249 писал(а):

:) Забавная mind game.

Почему mind game? Это же всё до Вейерштрасса писано, так что это вполне себе альтернативный способ построения именно того же самого - непривычный с нынешней колокольни, но не такой уж "игровой".

Просто, видимо, в этом месте математика выбрала себе одно из нескольких возможных русел.

[Otta]

(Munin)

Не, ну формализация-то явно современная.

мат-ламер в сообщении #1071332 писал(а):

Дифференциал зависимой переменной есть форма возможно от дифференциалов независимой переменной, а возможно и от других символов.

Дифференциал зависимой переменной вполне даже корректно определяется как результат внешнего дифференцирования соответствующей 0-формы.

Второй дифференциал в том смысле, в котором он чаще всего встречается в анализе - квадратичная форма на касательном пространстве, соответствующая билинейной форме второй производной. Да, это не дифференциальная форма, так никто и не обещал.

Что там у Фихтенгольца - не знаю, нет у меня его, а качать сегодня некогда и лениво. Может, позже доберусь посмотреть, - потому что такие определения надо в комплексе смотреть, цитата не поможет.

[arseniiv]

(Дуальные числа.)

Otta
Ещё читал, что эти числа используют иногда при численном дифференцировании, хотя не помню как. (А без этого что-то не пойму: ну пускай у нас есть функция $\mathbb R\to\mathbb R$ — чёрный ящик, тогда чтобы считать её от дуального аргумента, как раз и нужно знать производную. А если я перепутал, и использование в символьном дифференцировании, то гораздо проще обойтись без дуальных чисел. Так что либо там софистикация, либо упустил какой-то ещё прикладной способ дифференцирования.)

[Munin]

Otta в сообщении #1071381 писал(а):

Не, ну формализация-то явно современная.

Это да. Но этой формализации "другое выбранное русло" не вредит.

(Оффтоп)

Хотя... возникла ли бы вообще современная аксиоматическая математика, если бы перед этим не была наведена строгость в анализе?..

[Aritaborian]

(Munin)

Огюстен Луи Коши (ведь именно его вы считаете тем, кто навёл ту самую строгость? Не могу придумать, кого же ещё ;-), безусловно, сделал для современной математики чуть более, чем дофига. Но был ли именно он тем человеком? Давид Гильберт, например, им, конечно, не был. Он жил и работал позже и... кароч, не то, хоть и создал он свою аксиоматику в своей области...

[Munin]

(Оффтоп)

На самом деле, я в Коши и Вейерштрассах, к стыду своему, путаюсь...

[Xaositect]

(Дуальные числа.)

arseniiv в сообщении #1071384 писал(а):

Otta
Ещё читал, что эти числа используют иногда при численном дифференцировании, хотя не помню как. (А без этого что-то не пойму: ну пускай у нас есть функция $\mathbb R\to\mathbb R$ — чёрный ящик, тогда чтобы считать её от дуального аргумента, как раз и нужно знать производную. А если я перепутал, и использование в символьном дифференцировании, то гораздо проще обойтись без дуальных чисел. Так что либо там софистикация, либо упустил какой-то ещё прикладной способ дифференцирования.)

В автоматическом дифференцировании используется. Это такое символьное дифференцирование с помощью компилятора

[whitefox]

Otta в сообщении #1071381 писал(а):

Что там у Фихтенгольца - не знаю, нет у меня его, а качать сегодня некогда и лениво.

Видимо, имелось ввиду следующее место:

Г.М. Фихтенгольц писал(а):

Итак, дифференциал функции $y = f(x)$ всегда равен

$$dy=y'_x\cdot\Delta x.\eqno(2)$$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В заключение остановимся на самой независимой переменной $x:$ ее дифференциалом называют именно приращение $\Delta x,$ т. е. условно полагают

$$dx=\Delta x.\eqno(4)$$

Если отождествить дифференциал независимой переменной $x$ с дифференциалом функции $y = x$ (в этом — тоже своего рода соглашение!), то формулу (4) можно и доказать, ссылаясь на (2): $dx=x'_x\cdot\Delta x=1\cdot\Delta x=\Delta x.$

Учитывая соглашение (4), можно теперь переписать формулу (2), дающую определение дифференциала, в виде

$$dy=y'_x\cdot dx$$

— так ее обычно и пишут.

[provincialka]

Ну да, я, например, так и рассказываю. Первокурсникам, в первом семестре, только-только из школы. Неужели им в это время какие-то "формы" надо объяснять? Хоть внешние, хоть линейные...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Xaositect
А, теперь яснее стало! Даже вспомнил, что читал это в статье в A Neighboorhod of Infinity с кодом на хаскеле, там-то это легко сделать прозрачно.

[ewert]

provincialka в сообщении #1071634 писал(а):

Неужели им в это время какие-то "формы" надо объяснять? Хоть внешние, хоть линейные...

Даже и самым продвинутым первокурсникам (хоть внешним, хоть линейным) это было бы крайне неуместно. Однако и Фихтенгольц хорош. Он (видимо, для пущей внятности) постеснялся сказать, что дифференциал есть функция двух переменных. В результате внятность возросла до невозможности.

Хотя, возможно, 70 лет назад говорить так было просто не модно; не помню, меня тогда ещё не было.

[provincialka]

Мегя тоже. Не было. Видимо поэтому я про две переменные говорю.