Конечные дисперсии.

[ewert]

Tosha в сообщении #1071503 писал(а):

$(\sigma_1-\sigma_2)^2\le D[\xi + \eta]\le (\sigma_1+\sigma_2)^2$

Это здорово; осталось лишь обратить внимание на элементарный факт: при какой именно ковариации достигается правое равенство, и для какой -- левое?...

После чего тупо загнать в ноль, скажем, $D[tX+Y]$, подобрав соответствующие $t$.

[Tosha]

ewert в сообщении #1071627 писал(а):

Tosha в сообщении #1071503 писал(а):

$(\sigma_1-\sigma_2)^2\le D[\xi + \eta]\le (\sigma_1+\sigma_2)^2$

Это здорово; осталось лишь обратить внимание на элементарный факт: при какой именно ковариации достигается правое равенство, и для какой -- левое?...

После чего тупо загнать в ноль, скажем, $D[tX+Y]$, подобрав соответствующие $t$.

Спасибо.

Правое равенство достигается при ковариации $\sigma_1\sigma_2$, левое равенство при $-\sigma_1\sigma_2$.

$D[tX+Y]=t^2D[X]+D[Y]=t^2\sigma_1^2+\sigma_2^2$

Tогда загоняем в ноль $t^2\sigma_1^2+\sigma_2^2=0$,

$t^2=-\dfrac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}$

Но тогда $t=0$, что странно. Честно говоря, не очень понял про то, откуда взялось $D[tX+Y]$ и почему его нужно загонять в ноль?

[provincialka]

А почему у вас дисперсия суммы равна сумме дисперсий?
Насчет "загоняния в ноль". Ну, не делайте. Попробуйте сделать так, чтобы выполнялось, например, $cov(\xi,\eta)=-\sigma_1\sigma_2$. Подберите с.в. пропорциональными друг другу, как вам уже сказали.

-- 09.11.2015, 13:39 --

Tosha в сообщении #1071659 писал(а):

$t^2=-\dfrac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}$

Но тогда $t=0$, , что странно.

Да уж, действительно странно Почему ноль-то? Такого $t$ просто не существует (ну, в общем случае)

[Tosha]

provincialka в сообщении #1071662 писал(а):

А почему у вас дисперсия суммы равна сумме дисперсий?
Насчет "загоняния в ноль". Ну, не делайте. Попробуйте сделать так, чтобы выполнялось, например, $cov(\xi,\eta)=-\sigma_1\sigma_2$. Подберите с.в. пропорциональными друг другу, как вам уже сказали.

Хорошо, спасибо.

$\xi=t\eta$

$cov(\xi,\eta)=cov(t\eta,\eta)=tcov(\eta,\eta)=t\sigma_2^2$

Если возьмем $t=\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}$, то ковариация будет $\sigma_1\sigma_2$.

Если возьмем $t=-\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}$, то ковариация будет $-\sigma_1\sigma_2$.

Значит при указанных $t$ у нас будет достигаться верхняя и нижняя грань $D[\xi+\eta]$. Верно?

[provincialka]

Ага

[Tosha]

provincialka в сообщении #1071763 писал(а):

Ага

Спасибо большое, извините, что тупил сильно)

[ewert]

provincialka в сообщении #1071662 писал(а):

Подберите с.в. пропорциональными друг другу, как вам уже сказали.

Да не "подбирать" их надо, а доказывать, что иного и не бывает.

[provincialka]

ewert
Ну, конечно. Но ведь в задаче этого не требуется, вроде?

[ewert]

provincialka в сообщении #1071893 писал(а):

Но ведь в задаче этого не требуется, вроде?

А вот это как раз тот случай, когда лучше перебдеть, чем недобдеть. Задача ведь на неравенство Коши-Буняковского, не так ли? А если так, то просто нехорошо не помнить, когда это неравенство вырождается в равенство (и почему). Заодно и решение получится короче.