Конечные дисперсии.

[Tosha]

Подскажите, пожалуйста, верно ли мыслю?

Случайные величины $\xi,\eta$ (возможно, зависимые) обладают конечными диспресиями $D\xi=\sigma_1^2$, $D\eta=\sigma_2^2$. Указать пределы, в которых может меняться $D(\xi+\eta)$.

Я подозреваю, что нужно воспользоваться свойствами:

$D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)$

$\mathrm{cov}^2(X,Y) \leqslant \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y]$

$D[\xi + \eta] = D[\xi] + D[\eta] + 2\,\text{cov}(\xi,\eta)$

$\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\le D[\xi + \eta]\le \sigma_1^2+\sigma_2^2+2\sigma_1\sigma_2$

$(\sigma_1-\sigma_2)^2\le D[\xi + \eta]\le (\sigma_1+\sigma_2)^2$

Верно?

[Brukvalub]

Нужны примеры, доказывающие, что полученные оценки нельзя еще уточнить.

[Tosha]

Brukvalub в сообщении #1071514 писал(а):

Нужны примеры, доказывающие, что полученные оценки нельзя еще уточнить.

Спасибо!
Ну видимо для оценки сверху будет годен пример, когда $\xi=\eta$, а для оценки снизу можно взять случайные величины с равными дисперсиями. Правильно ли?

[Brukvalub]

Вот и напишите все подробно, мы же не на игре "кто хочет научиться угадывать теоремы".

[Tosha]

Brukvalub в сообщении #1071522 писал(а):

Вот и напишите все подробно, мы же не на игре "кто хочет научиться угадывать теоремы".

По поводу оценки сверху $\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{M} \left[(X - \mathbb{M}X) (Y - \mathbb{M}Y)\right]$

При $X=Y$ получаем $\mathrm{cov}(X,X) = \mathbb{M} \left[(X - \mathbb{M}X) (X - \mathbb{M}X)\right]=D[X]$

При $\xi=\eta$ оценка превращается в равенство.

$D[\xi + \eta]\le \sigma_1^2+\sigma_1^2+2\sigma_1\sigma_1=2\sigma_1^2=2D[X]$.

Когда случайные величины -- константы -- левая часть неравенства превращается в ноль, потому как дисперсия константы будет ноль.

[provincialka]

Tosha в сообщении #1071518 писал(а):

Ну видимо для оценки сверху будет годен пример, когда $\xi=\eta$, а для оценки снизу можно взять случайные величины с равными дисперсиями. Правильно ли?

Как же это? Ведь дисперсии слагаемых вам даны, вы не можете их менять произвольно!

[Tosha]

provincialka в сообщении #1071528 писал(а):

Tosha в сообщении #1071518 писал(а):

Ну видимо для оценки сверху будет годен пример, когда $\xi=\eta$, а для оценки снизу можно взять случайные величины с равными дисперсиями. Правильно ли?

Как же это? Ведь дисперсии слагаемых вам даны, вы не можете их менять произвольно!

Меня попросили примеры, потому частные случаи стал рассматривать. А как еще, может я что-то не так понял...?

[provincialka]

Tosha в сообщении #1071529 писал(а):

А как еще, может я что-то не так понял...?

По-моему, не поняли. Вам надо привести примеры, на которых достигаются оценки, но для произвольных дисперсий.

[Brukvalub]

Tosha в сообщении #1071529 писал(а):

Меня попросили примеры, потому частные случаи стал рассматривать. А как еще, может я что-то не так понял...?

Нет, вы поняли все правильно, вот только в условии заранее оговорено, что дисперсии могут быть и разными, как быть с примером в случае разных дисперсий?

[Tosha]

Хорошо. Тогда возьмем $\xi=C_1$, $\eta=C_2$, тогда оценка снизу будет ноль (достигнет-таки нуля). Правильно. Можно ли теперь считать, что верно оценили?

[ИСН]

Дисперсии не ноль. Дисперсии даны и известны. И они не ноль.

-- менее минуты назад --

ну возьмите пропорциональные величины, ну ёлки, ну

[Tosha]

Спасибо, ясно. А как для оценки снизу?

-- 09.11.2015, 02:15 --

Спасибо. Может обратно пропорциональные для оценки мнизу, чтобы дисперсия была нулеМ. Верно ли?

[ИСН]

Для оценки снизу возьмите тоже пропорциональные, только с отрицательным коэффициентом.

[Tosha]

ИСН в сообщении #1071552 писал(а):

Для оценки снизу возьмите тоже пропорциональные, только с отрицательным коэффициентом.

Хорошо. Пусть $\xi=-\eta$

$ D[\xi + \eta]=D[0]=0$ Так должно быть для оценки снизу?

$\xi=2\eta$ для оценки сверху

$D[\xi+\eta]=D[3\eta]=9D[\eta]$

-- 09.11.2015, 02:39 --

$D[2\eta] + D[\eta] + 2\,\text{cov}(2\eta,\eta)=4D[\eta]+D[\eta]+4D[\eta]=9D[\eta]$ Чтд

[provincialka]

Хм... еще чуть-чуть... осталось обобщить эти примеры на случай произвольных $\sigma_1, \sigma_2$.

-- 09.11.2015, 11:05 --

Tosha в сообщении #1071551 писал(а):

для оценки мнизу, чтобы дисперсия была нулеМ.

Зачем нулем? Нет, числом $(\sigma_1-\sigma_2)^2$