Зависимость случайных величин.

[Tosha]

iancaple в сообщении #1071583 писал(а):

Tosha в сообщении #1071508 писал(а):

1) Приведите пример двух таких зависимых случайных величин $\xi,\eta$, если известно, что $\text{cov}(\xi,\eta)=0$, при этом $\xi,\eta$ являются гауссовскими.

Вот такой пример. $EX =0,\;DX =1$.
$Y=\begin{cases} X,&\text{если $|X|>t$;}\\ -X,&\text{если $|X|\le t$.} \end{cases}$
А $t$ подобрать из условия $\operatorname{cov}(X,Y)=0$ А проще можно?

Хорошо, спасибо, попробую подобрать $t$.

$\operatorname{cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$

$E[XY]=E[X^2]=1+0$ при $ |X|>t$

$E[XY]=E[-X^2]=-1$ при $|X|\le t$

$E[X]E[Y]=0$, так как $E[X]=0$, потому

$\operatorname{cov}(X,Y)=1$ при $ |X|>t$

$\operatorname{cov}(X,Y)=-1$ при $ |X|\le t$

Но как подобрать $t$?

[iancaple]

Tosha в сообщении #1071681 писал(а):

потому

$\operatorname{cov}(X,Y)=1$ при $ |X|>t$

$\operatorname{cov}(X,Y)=-1$ при $ |X|\le t$

Но как подобрать $t$?

Нет, с чего тут единицы, и ковариация - она одна.
Вообще найти из уравнения

$$\int_0^tx^2f(x)dx=\int_t^{\infty} x^2f(x)dx$$

найдется как-нибудь, где $f(x)$ для краткости-плотность стандартного одномерного нормального распределения.

[Tosha]

iancaple в сообщении #1071729 писал(а):

Вообще найти из уравнения

$$\int_0^tx^2f(x)dx=\int_t^{\infty} x^2f(x)dx$$

найдется как-нибудь, где $f(x)$ для краткости-плотность стандартного одномерного нормального распределения.

Хорошо, спасибо!

$\Phi(t)-\Phi(0)=\Phi(+\infty)-\Phi(t)$

$2\Phi(t)=0,5$

$\Phi(t)=0,25$

Тогда по таблице смотрим значение $t\approx 0,67$.

Вроде так, но откуда взялось уравнение это, пока что не понимаю(

$$\int_0^tx^2f(x)dx=\int_t^{\infty} x^2f(x)dx$$

[мат-ламер]

iancaple в сообщении #1071583 писал(а):

Tosha в сообщении #1071508 писал(а):

1) Приведите пример двух таких зависимых случайных величин $\xi,\eta$, если известно, что $\text{cov}(\xi,\eta)=0$, при этом $\xi,\eta$ являются гауссовскими.

Вот такой пример. $EX =0,\;DX =1$.
$Y=\begin{cases} X,&\text{если $|X|>t$;}\\ -X,&\text{если $|X|\le t$.} \end{cases}$
А $t$ подобрать из условия $\operatorname{cov}(X,Y)=0$ А проще можно?

А как это стыкуется с теоремой (Ширяев, пар.13, Гаусс. сл. вел), что для гауссовских случайных величин независимость эквивалентна некореллированности?

[iancaple]

мат-ламер У Ширяева пара $(\xi ,\eta )$ подчиняется гауссовскому двумерному распределению. А в примере просто две гауссовские случайные величины (если не ошибаюсь).Двумерный закон для них я даже выписать не могу. И как бы пока противоречия не вижу.

[Tosha]

Кажется, я понял -- откуда взялось это равенство:

$$\int_0^tx^2f(x)dx=\int_t^{\infty} x^2f(x)dx$$

$\operatorname{cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0$

Потому $E[XY]-E[X]E[Y]=0$

Так как $E[X]=0$, значит $E[XY]=0$

$$E[XY]=2\left(-\int_0^tx^2f(x)dx+\int_t^{\infty} x^2f(x)dx\right)=0$$

$$\int_0^tx^2f(x)dx=\int_t^{\infty} x^2f(x)dx$$

Правильно ли это?

[iancaple]

Tosha в сообщении #1071794 писал(а):

$$\int_0^tx^2f(x)dx=\int_t^{\infty} x^2f(x)dx$$

Да, и каждый из них должен быть равен $\frac 14$ . Численно решил, число на вид незнакомое(

[Tosha]

ewert в сообщении #1071658 писал(а):

Tosha в сообщении #1071656 писал(а):

чем здесь нужно тогда воспользоваться?

Прежде всего, потребуйте, чтобы случайные величины были хотя бы нескоррелированы (бог с ней пока, с независимостью), и приглядитесь к получающейся при этом системе уравнений на коэффициенты. Потом вспомните, о чём идёт речь в Вашей параллельной ветке про "конечные дисперсии".

В верную сторону мыслю по второй задаче?

Хорошо. Пусть $\xi=t\eta$

$\operatorname{cov}(\xi,\eta)=\operatorname{cov}(t\eta,\eta)=tD[\eta]$

$\operatorname{cov}(a\xi+b\eta,\xi)=\operatorname{cov}(a\xi,\xi)+\operatorname{cov}(b\eta,\xi)=aD[\xi]+b\operatorname{cov}(\eta,\xi)=aD[\xi]+btD[\eta]$

$t=0, a=0$.

[Tosha]

Видимо, неверно

[ewert]

Tosha в сообщении #1071805 писал(а):

В верную сторону мыслю по второй задаче?

Не в ту. Просто выпишите ковариацию $a\xi+b\eta$ с $\xi$. Чему она равна? А потом с $\eta$.