Одно из возможных определений.
Многообразие (размерности
) - это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет (открытую) окрестность, гомеоморфную 
(или, что то же самое, открытому шару в

).
Когда хотят пояснить понятие многообразия на интуитивном уровне, обычно говорят что-то такое: многообразие в окрестности любой точки устроено как

.
Мне было интересно подумать над ролью хаусдорфовости в этом определении. Что будет, если хаусдорфовость опустить, или, например, оставить только требование гомеоморфности

окрестности каждой точки. Сможем ли мы по-прежнему представлять себе, что такое пространство "локально устроено как

", пусть и не является многообразием?
Не сможем. Вот классический пример. Возьмём два экземпляра прямой

и склеим их по всем точкам с одинаковыми координатами, кроме нулей (образуем факторпространство). В этом пространстве

будут присутствовать точки

(по одной точке для каждого числа

, не равного нулю), а нулей будет два:

и

(потому что нули мы оставили несклеенными). Буду рассматривать в пространстве

интервалы вида

, причём если

,

, то буду отличать промежуток

, содержащий только

, промежуток

, содержащий только

, и промежуток

, содержащий и

, и

. Все перечисленные промежутки будут открытыми множествами в

.
Каждая точка пространства

имеет окрестность, гомеоморфную

(или, что то же самое, открытому интервалу в

). Например, для

такими окрестностями будут

. Однако, будем иметь следующую
аномалию: точка

будет точкой прикосновения для любой такой окрестности (то есть, будет принадлежать замыканию любой такой окрестности). Какую бы окрестность точки

мы ни взяли, точка

не где-то далеко, она рядом, она прикасается к этой окрестности, и мы не можем себе представить, что

устроено как

вблизи

. (Ниже будет дано строгое определение, что я понимаю под этим термином - "устроено как

".)
Пока что это были просто интуитивные наброски, теперь я перехожу к
более строгому изложению. Пусть

- окрестность точки

в пространстве

и

- гомеоморфизм этой окрестности на соответствующий открытый интервал в обычном

.
Но этот гомеоморфизм не сохраняет свойства подмножеств. Например, пусть
![$[-b,b]\subset(-a,a)$ $[-b,b]\subset(-a,a)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/9/dd961a117efbf79f70a420edc9e8f71482.png)
- замкнутое подмножество нашего интервала в

; его прообраз в

при гомеоморфизме

- множество
![$[-b,b]^*$ $[-b,b]^*$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/9/e59390da5df8bf55a2e7c6a667aa1ffe82.png)
- уже не будет замкнутым, потому что точка

лежит в его замыкании, но самому ему не принадлежит. (В самом деле, любая окрестность

содержит некоторый интервал

, а он неминуемо пересекается с
![$[-b,b]^*$ $[-b,b]^*$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/9/e59390da5df8bf55a2e7c6a667aa1ffe82.png)
.) То есть, хотя окрестность

в

и гомеоморфна открытому интервалу в

, множества в этой окрестности совсем не похожи на соответствующие множества в этом открытом интервале; например, не сохраняется замкнутость. Именно это я имею в виду, когда говорю, что

не устроено как

вблизи

.
Мне кажется, можно дать следующее определение.
Будем говорить, что топологическое пространство
устроено как
вблизи точки
, если замыкание некоторой окрестности точки
гомеоморфно замкнутому шару в
, причём при этом гомеоморфизме сама точка
переходит в центр шара.Чем выгодно такое определение? Если

- окрестность

и

- гомеоморфизм её замыкания на замкнутый шар

, то этот гомеоморфизм будет сохранять все топологические свойства подмножеств (такие как замкнутость), и
в рамках
пространство
будет действительно неотличимо от 
. Это легко доказывается; легко понять, что аномалии в нашем факторпространстве были связаны именно с тем, что к окрестностям, гомеоморфным интервалу в

, прикасалась "постороняя" точка

; если же мы требуем гомеоморфность замыкания

замкнутому шару в

, то просто в силу замкнутости этого замыкания у него не будет никаких "посторонних" точек прикосновения.
Но теперь возникает
Задача. Доказать, что любое многообразие размерности
(в смысле определения в начале темы) локально устроено как
вблизи каждой своей точки.То есть надо доказать, что у каждой точки многообразия не только некоторая окрестность гомеоморфна открытому шару в

, но и замыкание этой окрестности гомеоморфно замкнутому шару

. В доказательстве обязательно будет использоваться хаусдорфовость, а может быть (?) и условие счётности базы.
К сожалению, мне не удалось решить эту задачу. Прошу помощи!