Размышления об определении многообразия

[Mikhail_K]

Одно из возможных определений. Многообразие (размерности $n$) - это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет (открытую) окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}^n$ (или, что то же самое, открытому шару в $\mathbb{R}^n$).

Когда хотят пояснить понятие многообразия на интуитивном уровне, обычно говорят что-то такое: многообразие в окрестности любой точки устроено как $\mathbb{R}^n$.

Мне было интересно подумать над ролью хаусдорфовости в этом определении. Что будет, если хаусдорфовость опустить, или, например, оставить только требование гомеоморфности $\mathbb{R}^n$ окрестности каждой точки. Сможем ли мы по-прежнему представлять себе, что такое пространство "локально устроено как $\mathbb{R}^n$", пусть и не является многообразием?

Не сможем. Вот классический пример. Возьмём два экземпляра прямой $\mathbb{R}$ и склеим их по всем точкам с одинаковыми координатами, кроме нулей (образуем факторпространство). В этом пространстве $X$ будут присутствовать точки $x\neq 0$ (по одной точке для каждого числа $x$, не равного нулю), а нулей будет два: $0_1$ и $0_2$ (потому что нули мы оставили несклеенными). Буду рассматривать в пространстве $X$ интервалы вида $(a,b)$, причём если $a<0$, $b>0$, то буду отличать промежуток $(a,b)^*$, содержащий только $0_1$, промежуток $(a,b)_*$, содержащий только $0_2$, и промежуток $(a,b)^*_*$, содержащий и $0_1$, и $0_2$. Все перечисленные промежутки будут открытыми множествами в $X$.

Каждая точка пространства $X$ имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}$ (или, что то же самое, открытому интервалу в $\mathbb{R}$). Например, для $0_1$ такими окрестностями будут $(-a,a)^*$. Однако, будем иметь следующую аномалию: точка $0_2$ будет точкой прикосновения для любой такой окрестности (то есть, будет принадлежать замыканию любой такой окрестности). Какую бы окрестность точки $0_1$ мы ни взяли, точка $0_2$ не где-то далеко, она рядом, она прикасается к этой окрестности, и мы не можем себе представить, что $X$ устроено как $\mathbb{R}$ вблизи $0_1$. (Ниже будет дано строгое определение, что я понимаю под этим термином - "устроено как $\mathbb{R}$".)

Пока что это были просто интуитивные наброски, теперь я перехожу к более строгому изложению. Пусть $(-a,a)^*$ - окрестность точки $0_1$ в пространстве $X$ и $f:(-a,a)^*\to (-a,a)$ - гомеоморфизм этой окрестности на соответствующий открытый интервал в обычном $\mathbb{R}$. Но этот гомеоморфизм не сохраняет свойства подмножеств. Например, пусть $[-b,b]\subset(-a,a)$ - замкнутое подмножество нашего интервала в $\mathbb{R}$; его прообраз в $X$ при гомеоморфизме $f$ - множество $[-b,b]^*$ - уже не будет замкнутым, потому что точка $0_2$ лежит в его замыкании, но самому ему не принадлежит. (В самом деле, любая окрестность $0_2$ содержит некоторый интервал $(-c,c)_*$, а он неминуемо пересекается с $[-b,b]^*$.) То есть, хотя окрестность $0_1$ в $X$ и гомеоморфна открытому интервалу в $\mathbb{R}$, множества в этой окрестности совсем не похожи на соответствующие множества в этом открытом интервале; например, не сохраняется замкнутость. Именно это я имею в виду, когда говорю, что $X$ не устроено как $\mathbb{R}$ вблизи $0_1$.

Мне кажется, можно дать следующее определение. Будем говорить, что топологическое пространство $X$ устроено как $\mathbb{R}^n$ вблизи точки $x\in X$, если замыкание некоторой окрестности точки $x$ гомеоморфно замкнутому шару в $\mathbb{R}^n$, причём при этом гомеоморфизме сама точка $x$ переходит в центр шара.

Чем выгодно такое определение? Если $U_x$ - окрестность $x\in X$ и $f:\overline{U_x}\to D^n$ - гомеоморфизм её замыкания на замкнутый шар $D^n$, то этот гомеоморфизм будет сохранять все топологические свойства подмножеств (такие как замкнутость), и в рамках $\overline{U(x)}$ пространство $X$ будет действительно неотличимо от $\mathbb{R}^n$. Это легко доказывается; легко понять, что аномалии в нашем факторпространстве были связаны именно с тем, что к окрестностям, гомеоморфным интервалу в $\mathbb{R}$, прикасалась "постороняя" точка $0_2$; если же мы требуем гомеоморфность замыкания $\overline{U(x)}$ замкнутому шару в $\mathbb{R}^n$, то просто в силу замкнутости этого замыкания у него не будет никаких "посторонних" точек прикосновения.

Но теперь возникает
Задача. Доказать, что любое многообразие размерности $n$ (в смысле определения в начале темы) локально устроено как $\mathbb{R}^n$ вблизи каждой своей точки.
То есть надо доказать, что у каждой точки многообразия не только некоторая окрестность гомеоморфна открытому шару в $\mathbb{R}^n$, но и замыкание этой окрестности гомеоморфно замкнутому шару $D^n$. В доказательстве обязательно будет использоваться хаусдорфовость, а может быть (?) и условие счётности базы.
К сожалению, мне не удалось решить эту задачу. Прошу помощи!

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1071006 писал(а):

Задача. Доказать, что любое многообразие размерности $n$ (в смысле определения в начале темы) локально устроено как $\mathbb{R}^n$ вблизи каждой своей точки.
То есть надо доказать, что у каждой точки многообразия не только некоторая окрестность гомеоморфна открытому шару в $\mathbb{R}^n$, но и замыкание этой окрестности гомеоморфно замкнутому шару $D^n$. В доказательстве обязательно будет использоваться хаусдорфовость, а может быть (?) и условие счётности базы.
К сожалению, мне не удалось решить эту задачу. Прошу помощи!

Воспользуйтесь тем, что компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

[Mikhail_K]

Ах, ну да. Пусть $x\in X$ точка на многообразии и её окрестность $U_x$ гомеоморфна $\mathbb{R}^n$. Возьмём замкнутый шар в $\mathbb{R}^n$ и рассмотрим его прообраз при этом гомеоморфизме. Компактность при гомеоморфизме сохраняется всегда, так что этот прообраз будет компактным множеством в хаусдорфовом пространстве и потому замкнутым. Прообраз соответствующего открытого шара будет требуемой окрестностью точки $x$.