Проверить предел

[iou]

Есть предел

$$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}$$

Как делал я:
Умножим выражение под знаком предела на сопряженное и получим следующее:

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$$

Поделив числитель и знаменатель на $x$ получим:

$$\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1}$$

Минусы появились при выносе $x$ под знак радикала и, соответственно, делении, поскольку $x$ отрицателен.
Откуда следует, что

$$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}=-\frac{1}{2}$$

Но вольфрам упорно выдаёт ответ $\infty$. В какую сторону мне думать, где ошибка?

[Dan B-Yallay]

iou в сообщении #1070534 писал(а):

В какую сторону мне думать, где ошибка?

В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

[venco]

Во-первых, у вас ошибка, ответ равен $1\over 2$.

iou в сообщении #1070534 писал(а):

Но вольфрам упорно выдаёт ответ $\infty$. В какую сторону мне думать, где ошибка?

Во-вторых:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28sqrt%28x^2%2Bx%29-x%29+x+to+infinity[/url]

(Оффтоп)

Почему-то линк не обрабатывается форумом.

[Lia]

iou
И в сторону неудачного деления второго слагаемого $x$ на себя же в знаменателе.
venco
Там минус бесконечность в базе.

[Brukvalub]

Dan B-Yallay в сообщении #1070536 писал(а):

iou в сообщении #1070534 писал(а):

В какую сторону мне думать, где ошибка?

В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.

venco в сообщении #1070537 писал(а):

Во-первых, у вас ошибка, ответ равен $1\over 2$.

Нет, это у вас ошибка, а у вольфрама все верно.

[venco]

Lia в сообщении #1070538 писал(а):

Там минус бесконечность в базе.

Ой, не заметил.

[Dan B-Yallay]

Brukvalub в сообщении #1070540 писал(а):

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.

Ну да, это я так неудачно выразился.
Там под корнем явно положительное число (при $x<-1$) соотв. и сам корень по определению должен быть положительным.

[NSKuber]

А ещё можно было внимательно посмотреть на данное выражение и предельную точку, прежде чем начинать преобразования, и они бы не понадобились вовсе.

[Brukvalub]

Dan B-Yallay в сообщении #1070544 писал(а):

Ну да, это я так неудачно выразился.
Там под корнем явно положительное число (при $x<-1$) соотв. и сам корень по определению должен быть положительным.

Лучше, на мой взгляд, не стало.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1070540 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1070536 писал(а):

iou в сообщении #1070534 писал(а):

В какую сторону мне думать, где ошибка?

В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.

А, $\frac{x}{x}=1$ независимо от знака же, тогда в знаменателе:

$$-\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1$$

Тогда действительно ответ $\infty$. Всё верно?

[Lia]

(Оффтоп)

NSKuber
Нуууу... это уже полное решение.

[мат-ламер]

iou в сообщении #1070534 писал(а):

Есть предел

$$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}$$

Оба члена стремятся к положительной бесконечности.

[Lia]

iou в сообщении #1070547 писал(а):

Тогда действительно ответ $\infty$. Всё верно?

Да, все верно, только неоправданно длинно. Тут пару раз подсказали, как это делается сразу. Второй раз в духе "начинается на ля-, кончается на -гушка".

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1070546 писал(а):

Лучше, на мой взгляд, не стало

Да, действительно чехарда получается. Надо было мне аккуратней говорить и о том, что знаменатель к нулю стремится и о том, с какой стороны.

[Munin]

Для меня эта тема дважды поучительна: во-первых, научился глаза протирать, а во-вторых, научился представлять себе график $\sqrt{x^2+x}.$