2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:11 
Аватара пользователя
Есть предел $$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}$$
Как делал я:
Умножим выражение под знаком предела на сопряженное и получим следующее: $$\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$$
Поделив числитель и знаменатель на $x$ получим: $$\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1}$$
Минусы появились при выносе $x$ под знак радикала и, соответственно, делении, поскольку $x$ отрицателен.
Откуда следует, что $$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}=-\frac{1}{2}$$
Но вольфрам упорно выдаёт ответ $\infty$. В какую сторону мне думать, где ошибка?

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:15 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1070534 писал(а):
В какую сторону мне думать, где ошибка?
В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:17 
Во-первых, у вас ошибка, ответ равен $1\over 2$.
iou в сообщении #1070534 писал(а):
Но вольфрам упорно выдаёт ответ $\infty$. В какую сторону мне думать, где ошибка?

Во-вторых:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28sqrt%28x^2%2Bx%29-x%29+x+to+infinity[/url]

(Оффтоп)

Почему-то линк не обрабатывается форумом.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:20 
iou
И в сторону неудачного деления второго слагаемого $x$ на себя же в знаменателе.
venco
Там минус бесконечность в базе.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:21 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #1070536 писал(а):
iou в сообщении #1070534 писал(а):
В какую сторону мне думать, где ошибка?
В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.
venco в сообщении #1070537 писал(а):
Во-первых, у вас ошибка, ответ равен $1\over 2$.

Нет, это у вас ошибка, а у вольфрама все верно.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:22 
Lia в сообщении #1070538 писал(а):
Там минус бесконечность в базе.
Ой, не заметил.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:25 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1070540 писал(а):
Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.
Ну да, это я так неудачно выразился.
Там под корнем явно положительное число (при $x<-1$) соотв. и сам корень по определению должен быть положительным.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:27 
А ещё можно было внимательно посмотреть на данное выражение и предельную точку, прежде чем начинать преобразования, и они бы не понадобились вовсе.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:28 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #1070544 писал(а):
Ну да, это я так неудачно выразился.
Там под корнем явно положительное число (при $x<-1$) соотв. и сам корень по определению должен быть положительным.

Лучше, на мой взгляд, не стало. :cry:

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:29 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1070540 писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #1070536 писал(а):
iou в сообщении #1070534 писал(а):
В какую сторону мне думать, где ошибка?
В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.

А, $\frac{x}{x}=1$ независимо от знака же, тогда в знаменателе: $$-\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1$$
Тогда действительно ответ $\infty$. Всё верно?

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:29 

(Оффтоп)

NSKuber
Нуууу... это уже полное решение. :mrgreen:

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:32 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1070534 писал(а):
Есть предел $$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}$$

Оба члена стремятся к положительной бесконечности.

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:39 
iou в сообщении #1070547 писал(а):
Тогда действительно ответ $\infty$. Всё верно?

Да, все верно, только неоправданно длинно. Тут пару раз подсказали, как это делается сразу. Второй раз в духе "начинается на ля-, кончается на -гушка".

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:47 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1070546 писал(а):
Лучше, на мой взгляд, не стало

Да, действительно чехарда получается. Надо было мне аккуратней говорить и о том, что знаменатель к нулю стремится и о том, с какой стороны. :oops:

 
 
 
 Re: Проверить предел
Сообщение06.11.2015, 15:07 
Аватара пользователя
Для меня эта тема дважды поучительна: во-первых, научился глаза протирать, а во-вторых, научился представлять себе график $\sqrt{x^2+x}.$

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group