2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:11 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Есть предел $$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}$$
Как делал я:
Умножим выражение под знаком предела на сопряженное и получим следующее: $$\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$$
Поделив числитель и знаменатель на $x$ получим: $$\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}}-1}$$
Минусы появились при выносе $x$ под знак радикала и, соответственно, делении, поскольку $x$ отрицателен.
Откуда следует, что $$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}=-\frac{1}{2}$$
Но вольфрам упорно выдаёт ответ $\infty$. В какую сторону мне думать, где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
iou в сообщении #1070534 писал(а):
В какую сторону мне думать, где ошибка?
В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:17 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Во-первых, у вас ошибка, ответ равен $1\over 2$.
iou в сообщении #1070534 писал(а):
Но вольфрам упорно выдаёт ответ $\infty$. В какую сторону мне думать, где ошибка?

Во-вторых:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%28sqrt%28x^2%2Bx%29-x%29+x+to+infinity[/url]

(Оффтоп)

Почему-то линк не обрабатывается форумом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:20 


20/03/14
12041
iou
И в сторону неудачного деления второго слагаемого $x$ на себя же в знаменателе.
venco
Там минус бесконечность в базе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Dan B-Yallay в сообщении #1070536 писал(а):
iou в сообщении #1070534 писал(а):
В какую сторону мне думать, где ошибка?
В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.
venco в сообщении #1070537 писал(а):
Во-первых, у вас ошибка, ответ равен $1\over 2$.

Нет, это у вас ошибка, а у вольфрама все верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Lia в сообщении #1070538 писал(а):
Там минус бесконечность в базе.
Ой, не заметил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Brukvalub в сообщении #1070540 писал(а):
Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.
Ну да, это я так неудачно выразился.
Там под корнем явно положительное число (при $x<-1$) соотв. и сам корень по определению должен быть положительным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:27 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
А ещё можно было внимательно посмотреть на данное выражение и предельную точку, прежде чем начинать преобразования, и они бы не понадобились вовсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Dan B-Yallay в сообщении #1070544 писал(а):
Ну да, это я так неудачно выразился.
Там под корнем явно положительное число (при $x<-1$) соотв. и сам корень по определению должен быть положительным.

Лучше, на мой взгляд, не стало. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:29 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Brukvalub в сообщении #1070540 писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #1070536 писал(а):
iou в сообщении #1070534 писал(а):
В какую сторону мне думать, где ошибка?
В сторону неправомерного выноса минуса из-под корня.

Как раз здесь нет ошибки. Ошибка в изменении знака после корня, там как был "+", так и остается.

А, $\frac{x}{x}=1$ независимо от знака же, тогда в знаменателе: $$-\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1$$
Тогда действительно ответ $\infty$. Всё верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:29 


20/03/14
12041

(Оффтоп)

NSKuber
Нуууу... это уже полное решение. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
iou в сообщении #1070534 писал(а):
Есть предел $$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x^2+x}-x}$$

Оба члена стремятся к положительной бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:39 


20/03/14
12041
iou в сообщении #1070547 писал(а):
Тогда действительно ответ $\infty$. Всё верно?

Да, все верно, только неоправданно длинно. Тут пару раз подсказали, как это делается сразу. Второй раз в духе "начинается на ля-, кончается на -гушка".

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение05.11.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1070546 писал(а):
Лучше, на мой взгляд, не стало

Да, действительно чехарда получается. Надо было мне аккуратней говорить и о том, что знаменатель к нулю стремится и о том, с какой стороны. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить предел
Сообщение06.11.2015, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для меня эта тема дважды поучительна: во-первых, научился глаза протирать, а во-вторых, научился представлять себе график $\sqrt{x^2+x}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group