Пример счетно-компактного, но не компактного.

[Someone]

Rich в сообщении #1069352 писал(а):

приближаться к $\omega_1$ справа

Обычно рисуют на горизонтальной прямой, маленькие ординалы — слева, большие — справа… Поскольку рассматривается множество ординалов, меньших $\omega_1$, то справа приближаться к $\omega_1$ невозможно.
Но, возможно, Вы рисуете наоборот…

Rich в сообщении #1069352 писал(а):

множествами типа $(0,\omega_1-\alpha_i)$

Вычитание ординалов не определено. Да и зачем оно Вам нужно?
Вообще, несчётное покрытие пространства ординалов, меньших $\omega_1$, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие, устроено удивительно просто, нужно только догадаться.

[Rich]

Нужно просто формализовать приближение слева?

[Someone]

Rich в сообщении #1069373 писал(а):

Нужно просто формализовать приближение слева?

Не нужно ничего "формализовать". Требуется просто указать конкретное покрытие открытыми множествами, из которого нельзя выбрать конечного подпокрытия. То есть, написать "покрытие множествами такого-то вида является несчётным, и из него нельзя выбрать конечного подпокрытия".
Вы ещё не придумали такое покрытие? Оно чрезвычайно простое, и я не знаю, как ещё подсказать, чтобы не получилось "полного решения учебной задачи".

[Rich]

Неужели надо покрыть нуль, а остальное покрыть интервалами $(0,\alpha)$, где $\alpha$ пробегает все счетные трансфиниты.

[Someone]

Rich в сообщении #1070577 писал(а):

Неужели надо покрыть нуль, а остальное покрыть интервалами $(0,\alpha)$, где $\alpha$ пробегает все счетные трансфиниты.

Вот именно. И даже ещё проще: покрыть полуинтервалами $[0,\alpha)$, $0<\alpha<\omega_1$.

[Rich]

Спасибо)